江苏省2020—2021学年高一数学必修四本章检测及答案：15平面向量.docx

平面对量的综合测试
1．已知A(4,6)，B，有下列向量：
①a＝；②b＝；③c＝；
④d＝(－7,9)．
其中，与直线AB平行的向量是
2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝
3．在五边形ABCDE中 (如图) ＋－＝
4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为
5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝
6．已知a＝(1,2)，b＝－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为
7．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于
8．一艘船以5 km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h，则船的实际航行速度范围是

9．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是
（1）．·
（2）．·
（3）．·
（4）．·
10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝
11．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角θ为________．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.
13．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
14．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
15．(本小题满分12分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．

16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

17．(本小题满分12分)已知平面对量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.

18．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD中，＝λ (λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
(1)求λ的值；
(2)求·的值．

答案：
1．解析：∵＝(－7，－)，
∴与AB平行的向量有①②③.
答案：①②③
2．解析：＝－＝(＋)－＝(－)，＝－＝－(＋)＝(－)，∴||∶||＝2∶1.
答案：2：1
3．解析：∵＋－＝＋＝.
答案：
4．解析：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)
＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e
＝k－2＋(1－2k)cos＝2k－，
∵a·b＝0，∴2k－＝0，即k＝.
答案：k＝
5．解析：∵2＝16，∴||＝4.
∴|＋|＝|－|＝||＝4.
∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.
答案2
6．解析：由题意知a＋b＝(－1，－2)，设a＋b与c夹角为θ，∵(a＋b)·c＝，∴|a＋b|·|c|cos θ＝，
∴cos θ＝，∴θ＝60°.
又∵a＋b＝(－1，－2)＝－a，
∴a与c夹角为120°.
答案：120°
7．解析：设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，
＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴解得
∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
答案：2
8．解析：实际航行的速度为静水中的速度与河水流速的合速度，
所以||v静|－|v水||≤|v|≤|v静|＋|v水|，
即|5－2|≤|v|≤|2＋5|,3≤|v|≤7
答案：[3,7]
9．解析：由于⊥，故其数量积是0，可排解（3）；与的夹角是，故其数量积小于零，可排解（4）；设正六边形的边长是a，则·＝||·||·cos 30°＝a2，·＝||·||·cos 60°＝a2.
答案：（1）
10．解析：由已知得BC＝，∠BCD＝135°，
所以·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝××cos 180°＋×1×cos 135°＋2××cos 45°＋2×1×cos 0°＝2.
答案：2
11．解析：设a与b的夹角为θ，
依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，
由于0≤θ≤π，所以θ＝.
答案：
12．解析：由题知·＋·＝2，
即·－·＝·(＋)＝2＝2⇒c＝||＝.
答案：
13．解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
则由A(0,0)、B(2,0)、E(2，)、D(1，)，
可得·＝1.
答案：1
14．解析：＝(＋)
＝＋，
＝－＝＋，＝－.
∵M、O、N三点共线，∴＝－，
∴m＋n＝2.
答案：2
15．解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．
∵0°<θ<120°，∴－∴|c|的取值范围为(，5)．
16．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
17．解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)
|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4)
∴|a－b|＝＝2.
18．解：(1)由于＝λ，所以BC∥AD，
且||＝λ||.
由于||＝||＝2，所以||＝2λ.
又|－|＝2，所以||＝2.
作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，有
cos∠ABH＝＝，于是∠ABH＝30°，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
而∠BDC＝90°，所以BD＝BC·cos 30°，
即2＝2λ·，
解得λ＝2.
(2)由(1)知，∠ABC＝60°，||＝4，
所以与的夹角为120°，
故·＝||·||cos 120°＝－4.