2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第五章-第三节等-比-数-列.docx

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课时提升作业(三十一)
一、选择题
1.已知等比数列{an}的公比q=2,其前4项和S4=60,则a2等于　(　　)
(A)8 (B)6 (C)-8 (D)-6
2.(2021·西安模拟)已知a1,,,…,,…是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{an}的第100项等于　(　　)
(A)25 050 (B)24 950
(C)2100 (D)299
3.在正项等比数列{an}中,a1,a19分别是方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于　(　　)
(A)16 (B)32 (C)64 (D)256
4.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则的值为　(　　)
(A) (B) (C) (D)
5.(2021·沈阳模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是　(　　)
(A)-5 (B)- (C)5 (D)
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,则公比q=(　　)

(A)4 (B)1或4 (C)2 (D)1或2
7.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于　(　　)
(A)18 (B)24 (C)60 (D)90
8.(2021·汉中模拟)在等比数列{an}中,a6与a7的等差中项等于48,a4a5a6a7a8a9a10=1286.假如设数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn=　(　　)
(A)5n-4 (B)4n-3
(C)3n-2 (D)2n-1
二、填空题
9.(2022·广东高考)若等比数列{an}满足a2a4=,则a1a5=　　　.

10.已知等比数列{an}的首项为2,公比为2,则=　　　.
11.(力气挑战题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N+),则数列{an}的通项公式an=　　　.
三、解答题
12.(2021·宝鸡模拟)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}为等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
13.(2021·西安模拟)已知数列{an}的首项为a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n有n,an,Sn成等差数列.
(1)求证:数列{Sn+n+2}成等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
14.(力气挑战题)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2(+),
a3+a4+a5=64(++),
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=(an+)2,求数列{bn}的前n项和Tn.
15.(力气挑战题)设一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1.
(2)求证:数列{an-}是等比数列.
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.

答案解析
1.【解析】选A.S4=60,q=2⇒=60⇒a1=4,
∴a2=a1q=4×2=8.
2.【解析】选B.假设a0=1,数列{}的通项公式是=2n-1.
所以a100=a1···…·=20+1+…+99=24 950.
3.【解析】选C.依据根与系数的关系得a1a19=16,由此得a10=4,a8a12=16,故a8·a10·a12=64.
4.【解析】选A.====.
5.【思路点拨】依据数列满足log3an+1=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9可以确定数列是公比为3的等比数列,再依据等比数列的通项公式即可通过a2+a4+a6=9求出a5+a7+a9的值.
【解析】选A.由log3an+1=log3an+1(n∈N+),得an+1=3an,又由于an>0,所以数列{an}是公比为3的等比数列,a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35,
所以lo(a5+a7+a9)=-log335=-5.
6.【解析】选A.由a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012两式相减得a2 011-a2 010=
3a2 010,即q=4.
7.【解析】选C.由=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),又由于公差不为零,所以2a1+3d=0,
再由S8=8a1+d=32得2a1+7d=8,
则d=2,a1=-3,
所以S10=10a1+d=60.故选C.
8.【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
由a6与a7的等差中项等于48,得a6+a7=96,
即a1q5(1+q)=96,　①
由等比数列的性质,得a4a10=a5a9=a6a8=,
由于a4a5a6a7a8a9a10=1286,
则=1286=(26)7,
即a1q6=26,　②
由①②解得a1=1,q=2,
∴Sn==2n-1,故选D.
9.【思路点拨】本题考查了等比数列的性质:已知m,n,p∈N+,若m+n=2p,则am·an=.
【解析】∵a2a4=,∴=,
∴a1a5==.
答案：
10.【解析】由题意知an=2n,
所以==
=22=4.
答案：4
11.【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,当n≥2时Sn=2Sn-1+n,
两式相减得:an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
即=2.
又S2=2S1+1+1,a1=S1=1,
∴a2=3,∴=2,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N+).
答案：2n-1
【方法技巧】含Sn,an问题的求解策略
当已知含有Sn+1,Sn之间的等式时,或者含有Sn,an的混合关系的等式时,可以接受降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式.
12.【解析】(1)==2,
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an+1=(a1+1)×2n-1,
所以an=3×2n-1-1.
13.【解析】(1)由于n,an,Sn成等差数列,
所以2an=Sn+n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
所以2(Sn-Sn-1)=Sn+n,
即Sn=2Sn-1+n(n≥2),
所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2
=2[Sn-1+(n-1)+2],
又S1+2-1+2=4≠0,
所以=2,
所以数列{Sn+n+2}成等比数列.
(2)由(1)知{Sn+n+2}是以4为首项,2为公比的等比数列,
所以Sn+n+2=4·2n-1=2n+1,
又2an=nSn,所以2an+2=2n+1,
所以an=2n-1.
14.【思路点拨】(1)设出公比q,依据条件列出关于a1与q的方程组求得a1与q,即可求得数列的通项公式.
(2)由(1)中求得数列的通项公式,可求出{bn}的通项公式,由其通项公式可知分开求和即可.
【解析】(1)设公比为q,则an=a1qn-1.由已知得

化简得
又a1>0,故q=2,a1=1,所以an=2n-1.
(2)由(1)得bn=(an+)2=+2+
=4n-1++2.
所以Tn=(1+4+…+4n-1)+(1++…+)+2n
=++2n
=(4n-41-n)+2n+1.
15.【解析】(1)∵一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,
由根与系数的关系易得α+β=,αβ=,
∵6α-2αβ+6β=3,∴-=3,
即an+1=an+.
(2)∵an+1=an+,
∴an+1-=(an-),
当an-≠0时,=,
当an-=0,即an=时,
此时一元二次方程为x2-x+1=0,
即2x2-2x+3=0,
∵Δ=4-24<0,
∴不合题意,即数列{an-}是等比数列.
(3)由(2)知:数列{an-}是以a1-=-=为首项,公比为的等比数列,
∴an-=×()n-1=()n,
即an=()n+,
∴数列{an}的通项公式是an)n+.
【变式备选】定义:若数列{An}满足An+1=,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图像上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式.
【解析】(1)由条件得:an+1=2+2an,
∴2an+1+1=4+4an+1=(2an+1)2,
∴{2an+1}是“平方递推数列”.
∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),
∴=2,
∴{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)∵lg(2a1+1)=lg5,
∴lg(2an+1)=lg5·2n-1,
∴2an+1=,∴an=(-1).
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)
==(2n-1)lg5,
∴Tn=.

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