2021高考数学专题辅导与训练配套练习：解答题规范训练(五)解析几何.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
解答题规范训练(五)
解析几何
(建议用时:45分钟)
1.(2022·烟台模拟)已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)·(a-b)=0.
(1)求点Q(x,y)的轨迹C的方程.
(2)设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,又点A(0,-1),当|AM|=|AN|时,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意得a+b=(x+,y),a-b=(x-,y),
由于(a+b)·(a-b)=0,
所以(x+)(x-)+3y2=0,
化简得+y2=1,
所以Q点的轨迹C的方程为+y2=1.
(2)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,
由于直线与椭圆有两个不同的交点,
所以Δ>0,即m2<3k2+1.　①
(i)当k≠0时,设弦MN的中点为P(xP,yP),xM,xN分别为点M,N的横坐标,
则xP==-,从而yP=kxP+m=,kAP==-,
又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN.
则-=-,即2m=3k2+1,　②
将②代入①得2m>m2,解得00,解得m>,
故所求的m的取值范围是(,2).
(ii)当k=0时,|AM|=|AN|,
所以AP⊥MN,m2<3k2+1,
解得-1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由于A,B是不同的两点,所以xA≠xB且l不与x轴垂直,
由于+=(p,2).
所以xA+xB=p,+=6,
所以AB中点的坐标为(,3),
所以k1=kAB==xA+xB=p,
当p≠0时,直线m的斜率km=-=-,
所以直线m的方程为:y-3=-(x-),
即y=-x+,
令x=0得:y=,
即直线m过定点(0,);
当p=0时,直线m的方程为x=0,也过定点(0,).
(3)由(2)可设直线AB的方程为:y-3=p(x-),即y=px+3-,
联立
消去y得:x2-px+-3=0,
所以
即
所以|A1B1|=|x1x2|===,
所以以A1B1为直径的圆的方程为+y2=,
当直线l与曲线E相离时,圆心到直线l的距离d>r,即>.
所以>,
即6>·,
即36>(12-p2)(p2+1),
所以p4-11p2+24>0,
即(p2-3)·(p2-8)>0,
所以p2>8或p2<3,
又p2<12,且p2≥0,
所以0≤p2<3或8>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,左,右顶点分别为A1,A2.过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为M(,2).
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)动直线l:x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.
【解析】(1)c=,b2=a2-c2=a2-3.
点M(,2)在椭圆上,
+=1,
3a2-9+4a2=a4-3a2,
即a4-10a2+9=0,
(a2-9)(a2-1)=0,
所以a2=9或a2=1程为+=1.
(2)当l⊥x轴时,P(1,),Q(1,-),
又A1(-3,0),A2(3,0).
:y=(x+3),:y=(x-3),
联立解得S(9,4).
当过椭圆的上顶点时,y=-x,P(0,),
Q(,-),
:y=(x+3),
:y=(x-3),
联立解得S(9,4).
若定直线存在,则方程应是x=9.
下面赐予证明.
把x=my+1代入椭圆方程,整理,
(2m2+3)y2+4my-16=0,
Δ>0成立,记P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,
y1·y2=,
:y=(x+3),
:y=(x-3),
当x=9时,纵坐标y应相等须=,
须2y1(my2-2)=y2(my1+4),
须my1y2=4(y1+y2),
而m×=4×成立.
综上,定直线方程为x=9.
4.(2022·宁波模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一个纵坐标为2的点到焦点F的距离为3.

(1)求抛物线C的方程.
(2)设点P(0,2),过P作直线l1,l2分别交抛物线于点A,B和点M,N,直线l1,l2的斜率分别为k1和k2,且k1k2=-.写出线段AB的长|AB|关于k1的函数表达式,并求四边形AMBN面积S的最小值.
【解析】(1)2-=3,
所以p=2,所以x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2y2),M(x3,y3),N(x4,y4),l1:y=k1x+2,
与抛物线x2=4y联立可得:x2-4k1x-8=0,
所以
|AB|=|x1-x2|
=4,k1∈R且k1≠0.
设点M,N到直线l1的距离分别为h1和h2,
h1+h2=+
=
=.
由题知l2:y=k2x+2.
y3=k2x3+2,y4=k2x4+2,y3-y4=k2(x3-x4).
h1+h2=
=
同理可得x2-4k2x-8=0,
|x3-x4|==4,
h1+h2=.
所以S四边形AMBN=|AB||h1+h2|
=8|k1-k2|·
=8
由于k1k2=-.所以
S四边形AMBN=8
=8
设t=+≥2|k1k2|=,
S四边形AMBN=8在,+∞上单调递增,
S四边形AMBN≥8=22,
当且仅当t=,即{k1,k2}=-,时取等号.
所以四边形AMBN面积的最小值为22.
关闭Word文档返回原板块