福建省厦门一中2021届高三高考前热身考试卷数学(理)-Word版含答案.docx

厦门一中5月热身训练理科数学试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
留意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．做选考题时，考生依据题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= 　　　　V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、已知全集 集合,，下图中阴影部分所表示的集合为
A. B.
C. D.
2、下列命题正确的是
A．存在x0∈R，使得的否定是：不存在x0∈R，使得；
B．存在x0∈R，使得的否定是：任意x∈R，均有
C．若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0.
D．若为假命题，则命题p与q必一真一假
3、已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；
⑤．为使，应选择下面四个选项中的（ ）
A．③⑤ B．①⑤ C．①④ D．②⑤
4、直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（　　）
（A） （B）
（C） （D）
5、如图5，在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则的值是(（　　）
A．4 B． 8 C． 6 D．6
6、执行下面的框图，若输入的是，则输出的值是（ ）
开头
结束
输入N
K=1,P=1
P=P*K
K圆弧上一点做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为.现随机在区域内投一点，若设点落在
区域内的概率为，则的最大值为（ ）
A． 　　 B． 　　C． 　　 D．
8、为调查某校同学宠爱数学课的人数比例，接受如下调查方法：
（1）在该校中随机抽取100名同学，并编号为1,2,3，……,100；
（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名同学分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
（3）请下列两类同学举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的同学；（ⅱ）摸到红球且不宠爱数学课的同学.
假如总共有26名同学举手，那么用概率与统计的学问估量，该校同学中宠爱数学课的人数比例大约是
A.88% B. 90% C. 92% D.94%
9、已知F2、F1是双曲线-=1(a>0，b>0)的左右焦点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为
A．3 B． C．2 D．
10、已知与都是定义在R上的函数， ，且
，且，在有穷数列中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是（ ）
A. B. C D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、 设常数.若的二项开放式中项的系数为-15,则_______.

12、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 ．

13、小明在做一道数学题目时发觉：若复数，(其中), 则， ，依据上面的结论，可以提出猜想: z1·z2·z3= ．
14、若函数，则=_______________
15、意大利出名数学家斐波那契在争辩兔子繁殖问题时，发觉有这样一组数： 1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个格外秀丽、和谐的数列，有很多奇异的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越靠近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的挨次组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2022项的值是___3_____

三、解答题：共6小题80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、 (本题满分13分)
下图是猜想到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）设Ｘ是此人停留期间空气质量优良的天数，求Ｘ的分布列与数学期望
（Ⅲ）由图推断从哪天开头连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17、(本小题满分13分)
已知函数（,,）,的部分图像如图所示,、分别为该图像的最高点和最低点,点的坐标为．
（Ⅰ）求的最小正周期及的值；
（Ⅱ）若点的坐标为,,求的值和的面积．

18、(本小题满分13分)
如图，在圆上任取一点过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．
（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若圆在点处的切线与轴交于点，试推断直线与轨迹的位置关系．

19、（本题满分13分）
如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
(1)求证：平面；
(2)若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.

20、(本小题满分14分)
设(是自然对数的底数，)，且．
（Ⅰ）求实数的值，并求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，对任意，恒有成立．求实数的取值范围；
（Ⅲ）若正实数满足，，试证明：；并进一步推断：当正实数满足，且是互不相等的实数时，不等式是否照旧成立．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．假如多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为．
（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．
（Ⅰ）分别求出曲线和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数．

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
已知，且．
（Ⅰ）试利用基本不等式求的最小值；
（Ⅱ）若实数满足，求证：．

理科数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、【答案】 A
解析：由图可以得到阴影部分表示的集合为，
={2，3，4，5}，则={1} 选A
2、【答案】 C
解析：命题的否定和否命题的区分:对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论。
A选项对命题的否定是： 存在,使得0；
B选项对命题的否定是 ： 存在，均有 1 0；
D选项则命题p与q也可能都是假命题。
故选C
3、【答案】 D
4、【答案】 D
解析：由 得 所以刚好为一个周期区间，由函数的周期性可设直线y=5在点 ，截曲线的弦长与直线y=-1在点，截曲线的弦长相等可得到方程 解得n=2
又直线y=5截曲线的弦长与直线y=-1截曲线的弦长相等且不为0，则可得m>3. 故选D
5、【答案】 B
6、【答案】 B
解析：执行完程序框图得到的最终结果是.故选B
Ａ
7、 【答案】 D
解析:由图像和三角形相关学问得到当所围三角形为等腰直角三角形，当切点A为等腰直角三角形斜边中点时概率P最大。可求的此时等腰三角形边长为 ，N面积为1 ; M面积为,P= 。故选D.
8、【答案】 B
解析:B
9、【答案】 C
解析：画出图形依据双曲线的性质和圆的有关学问可以得到，故选C.LIE
10、【答案】 A
解析： 可知, 同号
由 得 又 得 解得a=或a=2
①a=时，= 可知 是以首项为，公比为的等比数列，则前k项和为
= 令> 解得K=5 所以前五项相加和才大于
② a=2时，=可知 是以首项为2公比为2 的等比数列则前k项和
= 明显k=1 时2>.
联立①②得概率为 。故选A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11、【答案】 -3
解析：二项式开放式第r项为 含x的项为 令10-3r=7 则r=1 所以
解得

12、【答案】
解析:由三视图可得原图形是由三菱锥和半球组成的几何体，由题可得半球的体积为
三菱锥的体积为 所以该几何体的体积为
+=
13、【答案】
解析：运用推理
14、【答案】2022
解析：=

=
=++++++++
=++++
=
15、【答案】 3
解析：写出前几项数列的数，可以找出规律。

三、解答题：共6小题80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、
解: 设表示大事“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）
依据题意P（）=，=∅（i≠j）
（Ⅰ）设B表示大事“此人到达当日空气质量优良”
P（B）= …………3分

（Ⅱ）X的全部可能取值为0，1，2
P（X=0）= P（X=1）=
P（X=2）= …………6分
∴X的分布列为
X
0
1
2
P

……8分

∴X的数学期望为E（X）= …………11分
（Ⅲ）从5月5日开头连续三天的空气质量指数方差最大。 …………13分
17、
解：（Ⅰ）． ……………2分
所以．将代入得(），故．…6分
（Ⅱ）设点的坐标为，由题意可知，得所以 ．
连接, 则, ………………………………8分
又由于, ………………………………9分
在中,,由余弦定理得：

解得 ，又，所以．……………………………………………11分
………13分

18、
解：（Ⅰ）设，则．点在圆上，，
即点的轨迹的方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）解法一：
（i） 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．明显与轨迹相切；
（ii）当直线的斜率存在时，设的方程为，
由于直线与圆相切，所以，即．………………7分
又直线的斜率等于，点的坐标为．
所以直线的方程为，即． …………………………9分
由得．
．故直线与轨迹相切．
综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切． ……………………………………………13分
解法二 ：设（），则．……………………………………5分
（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；
（ii）当时，直线的方程为，即．
令，则．，又点，
所以直线的方程为，即．………………9分
由得即．
．所以，直线与轨迹相切．
综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切．……………………………………………13分

19、
解：（1）在正方形中，由于，
所以三棱柱的底面三角形的边．
由于，，所以，所以．
由于四边形为正方形，，所以，而，
所以平面．--------- 4分
（2）由于,,两两相互垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为．
则由，即令，
则．所以．
设点E(m,n,0),
.由得:m+2n-6=0
所以|BE|的最小值为点B到线段: m+2n-6=0 的距离------- 13分
20、
解：（Ⅰ）∵，，故．……………………………1分
令得；令得． ………………3分
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．………………4分
（II）由变形得：．……………5分
令函数，则在上单调递增． ……………………………6分
即在上恒成立． ……………………………7分

而（当且仅当时取“=”）
所以．……………………………………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：不妨设，由得：

其中，故上式的符号由因式“”的符号确定．
令，则函数．
，其中，得，故．即在上单调递减，且．所以．
从而有成立．
该不等式能更进一步推广：
已知，是互不相等的实数，若正实数满足，则．
下面用数学归纳法加以证明：
i）当时，由（Ⅱ）证明可知上述不等式成立；
ii）假设当时，上述不等式成立．即有：．
则当时，由得：，于是有：
．
在该不等式的两边同时乘以正数可得：．
在此不等式的两边同时加上又可得：．
该不等式的左边再利用i）的结论可得：．整理即得：．
所以，当时，上述不等式照旧成立．
综上，对上述不等式都成立．………………………………………………14分

21．
解：（Ⅰ），，．…4分
（Ⅱ），，
代入中得：．
故所求的曲线方程为：．…………………………………………7分

（2）
解：（Ⅰ）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即
；由直线的参数方程消去参数得，
即．………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由于圆心到到直线的距离为，恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1．………………………………7分

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
已知，且．
（Ⅰ）试利用基本不等式求的最小值；
（Ⅱ）若实数满足，求证：．
解：（Ⅰ）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有．……4分
（Ⅱ），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）
整理得：，即．……………………………7分