1、
1．(2021·合肥高二检测)对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝
＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：选D.在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．
2．已知{an}为等比数列，a5＝2，则有a1·a2·…·a9＝a＝29.若{bn}为等差数列，b7＝3，则
2、数列{bn}的类似结论为( )
A．b1＋b2＋…＋b13＝3×13
B．b1＋b2＋…＋b13＝313
C．b1·b2·…·b13＝3×13
D．b1·b2·…·b13＝313
解析：选A.在等比数列{an}中，由等比数列的性质得a1·a2·…·a9＝a＝29.类似地，在等差数列{bn}中，由等差中项与等差数列的前n项和公式得b1＋b2＋…＋b13＝×13＝13b7＝3×13.
3．(2021·杭州高二检测)＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均为实数)，请推想a＝________，b＝________.
解析：由2＋，3＋，4＋可以求出3＝22－1,8＝32－1,15
3、＝42－1，
∴在6＋中，a＝6，b＝a2－1＝62－1＝35.
答案：6 35
4．若存在常数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对n∈N*都成立，则a，b，c的值分别为________，________，________.
解析：∵存在常数a，b，c，使等式对全部的正整数都成立，
∴当令n＝1,2,3时等式都成立，
∴得a＋b＋c＝24，①
4a＋2b＋c＝44，②
9a＋3b＋c＝70，③
解①②③得a＝3，b＝11，c＝10.
答案：3 11 10
5．已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长，分别交对边于点
4、A′，B′，C′，则＋＋＝1.这是一道平面几何题，其证明常接受“面积法”，即＋＋＝＋＋＝1.请运用类比思想，猜想对于空间中的四周体V－BCD存在什么类似的结论．
解：如图所示，在四周体V－BCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于点E，F，G，H.
猜想：＋＋＋＝1.
证明如下：在四周体O－BCD与四周体V－BCD中，设点O到平面BCD的距离为h1，点V到平面BCD的距离为h，则＝＝＝，
同理，可得＝，＝，＝，
∴＋＋＋
＝＝＝1.
6．已知△ABC的三边长都是有理数．
(1)求证：cos A是有理数；
(2)求证：对任意正整数n，cos
5、nA是有理数．
证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
cos A＝是有理数．
(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数．
①当n＝1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数．
②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．
当n＝k＋1时，
由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，
sin A·sin(k＋1)A
＝sin A·(sin A·coskA＋cos A·sin kA)
＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，
及①和归纳假设，知cos(k＋1)A和sin A·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．
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