江苏省2013—2020届高三数学小练习及答案(15).docx

高三数学小练（15）
1．设全集，集合，，则 ．
甲
乙

第4题图
2．已知复数满足，则的模为 ．
3．已知，则 ．
4．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中
一个数字被污损，则乙的平均成果超过甲的概率为 ．
5．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 ．
6．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知和是两个高相等的正三棱锥， 四点在同一平面内．要使塔尖之间的距离为m，则底边的长为 m．

第6题图

I←2
S←0
While I＜m
S←S+I
I←I+3
End While
Print S
End
（第7题图）

7．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为 ．
8．向量，= ．
9．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是
10．函数的最大值与最小值之和为
11．已知半椭圆和半圆组成的曲线如图所示．曲线交轴于点，交轴于点，点是半圆上异于的任意一点，当点位于点时，的面积最大，则半椭圆的方程为 ．
A
C
D
B
E
第12题图

第11题图

12．已知，C是线段AB上异于A，B的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 ．
13． 已知且．
（1）求的值；（2）证明：．

14．如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，平面，

（第14题图）
且
．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；

答案
1．【解析】由，得．
2．【解析】由于，所以两边同时取模可得．
3．【解析】由，知由于，所以．
4．【解析】由图示可知，甲的平均成果为90，若要符合题意，被污损的数字只能是9，故所求概率为．
5．【解析】明显，，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标是，
由距离公式，得．
6．【解析】由正三棱锥的概念知，顶点在底面的射影分别是正三角形和正三角形的中心，由于高相等，所以塔尖之间的距离即为两个正三角形中心间的距离，由平面几何易知，底边的长为．
7． 2021【解析】由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于是正整数，所以最大值为2021．
8．
9．∵，∴在上是增函数， ∴
即是方程的两个不等的正实数根，问题等价于方程有两个不等的正根．
设，易得，∴．
10．2【解析】是奇函数，奇函数的最大值与最小值之和为0，
11．【解析】由点在半圆上，所以，而当点位于点
时，的面积最大可知，，即，，所以半椭圆的方程为
．
12．设则，在中，由余弦定理，
知

又当且仅当时，取“=”，所以，
又的外接圆的半径．

13．解：解：（1）将代入得（4分）
所以又，
解得．（6分）
（2）易得，又
所以，（8分）
由（1）可得，（10分）
所以．（14分）

14． 证明：（1）正方形ABCD中，，
又平面CDE，
平面CDE，
所以平面CDE．（6分）
（2）由于，
且，
所以，（8分）
又
且，
，
所以，（12分）
又，
所以．（14分）