【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B3函数的单调性与最值.docx

B3 函数的单调性与最值

【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】14. 若且，则的最小值为 .
【学问点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】 ∵x，y为非负数且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤．
∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上单调递减，
∴当y=，x=0时，函数f（y）取得最小值，f()=．故答案为．
【思路点拨】x，y为非负数且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤．
可得f（y）=2x+3y2=3y2+21-2y）=3(y- )2+，再利用二次函数的单调性即可得出．

【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】14、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【学问点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4
【答案】【解析】 解析：由于当x≥0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]
，由于函数2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以.
【思路点拨】先依据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意x∈[a，a+2],a 2x+1恒成立问题求解.

【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若,则 （ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数单调性的应用；数值大小的比较. B3 E1
【答案】【解析】B 解析：∵，∴<0,又，
∴，∵函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，∴函数是上的增函数，∴.故选B
【思路点拨】先推断的大小关系，再利用函数的奇偶性、单调性确定结论.

【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】19. （本小题满分13分）
已知
（1）求的最小值和的最大值；
（2）若，问是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【学问点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．B1 B3
【答案】【解析】（1）,（2）存在满足题设条件.
解析：（1）…………………………（2分）
由于，
∴，当x=1时等号成立. ……………………………………………（4分）
故即x=1时，f(x)的最小值.
…………………………………………………………………………………………（6分）
又.
故时，g(x)的最大值..…………………………………………………（8分）
（2）∵，
∴若能构成三角形，只需
对恒成立.…………………………………（10分）

由（1）知……………………………（11分）
…………………………………………………（12分）
综上，存在满足题设条件. ……………………………………（13分）
【思路点拨】（1）先考虑，再说明函数与在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，从而求出函数的最小值．（2）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）的结论可确定．

【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】10. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【学问点】函数的单调性.B3
【答案】【解析】A 解析：由题意可得对恒成立
由于
所以当时函数在R上是减函数,函数的值域为
故(1)
当时函数在R上是增函数,函数的值域为
故 (2)
由(1)(2)知,故选A.
【思路点拨】先把原函数分别常数，结合对恒成立，然后对m分类争辩即可。

【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211） (1)】21．（本小题满分15分）已知函数，为常数．
（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【学问点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】（1）当时，最大值为，最小值为1。（2）
（1）当时， 所以当时，
当时，所以在上的最大值为，最小值为1。
（2）由于
而在上单调递增
所以当时，必单调递增，得即
当时，亦必单调递增，得即
且恒成立
故所求实数的取值范围为。
【思路点拨】先争辩去确定值依据单调性求出最值，依据二次函数的单调性求出a值。

【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】9、函数，在上的最大值为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【学问点】函数的最值.B3
【答案】【解析】D 解析：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，
可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；
要使函数在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必需小于等于2，即e2a≤2，解得．
故答案为：．
【思路点拨】当x∈[-2，0]上的最大值为2； 欲使得函数在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必需小于等于2，从而解得a的范围

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】20.(本小题满分13分)
设二次函数集合.
(1)若求函数的解析式；
(2)若且且在上单调递增，求实数的取值范围.
【学问点】集合运算，函数的单调性 A1 B3
【答案】【解析】(1) (2) 或
解析：(1)
(2) 且， 1-a+b=0,b=a-1

1.当Δ≤0，即－≤a≤时，则必需⇒－≤a≤0.
2.当Δ>0，即a<－或a>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1
【学问点】函数的奇偶性和单调性 B3 B4
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（1）令,
.
∴,∴.
(2) 在[-1，1]上递增，∴,
∴,.
【思路点拨】由函数为奇函数，可求时的解析式，即可求出 ；再利用函数在上递增，可得，即可求出.

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】10.设函数的定义域为，且，且对任意若是直角三角形的三边长，且也能成为三角形的三边长，则的最小值为 ( ) A. B. C. D.
【学问点】三角形的外形推断，函数的值 C8 B3
【答案】【解析】A 解析：不妨设为斜边，则 ， 由题意可得 即
即 所以选A.
【思路点拨】不妨设为斜边，则 ，可得 结合题意可得 ，结合可求的范围，进而可求的范围，即可求解.

【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ 　 ）
A、 B、 C、 D、或
【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题. B3 B4 E8
【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R 上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：
，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.
【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为
，对恒成立.所以只需求在
上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以
或.

【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】10.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】B 令2x=t（t＞0），则函数y=4x+2x+1+1可化为：y=t2+2t+1=（t+1）2，
∵函数y在t＞0上递增，∴y＞1，即函数的值域为（1，+∞），故答案为：B.
【思路点拨】令2x=t（t＞0），将原不等式转化为y=t2+2t+1求出函数y在t＞0时的值域即可．

【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】4.下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性函数的单调性B3 B4
【答案解析】D A选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。
【思路点拨】依据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果。

【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】14. 若且，则的最小值为 .
【学问点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】 ∵x，y为非负数且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤．
∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上单调递减，
∴当y=，x=0时，函数f（y）取得最小值，f()=．故答案为．
【思路点拨】x，y为非负数且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤．
可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y- )2+，再利用二次函数的单调性即可得出．

【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】21.（本小题满分14分）.已知函数，（a为实数）．
(Ⅰ) 当a=5时，求函数在处的切线方程；
(Ⅱ) 求在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；
(Ⅲ) 若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围．
【学问点】导数；导数与函数的最值；导数与函数的单调性.B3,B11
【答案】【解析】(I) (II) 当时 (III) 解析：(Ⅰ)当时,. ………1分
，故切线的斜率为. ………2分
所以切线方程为:,即. ………4分
(Ⅱ),

………6分

①当时,在区间上为增函数,
所以 ………7分
②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,
所以 ………8分
(Ⅲ) 由，可得：， ………9分
,
令, .
………10分
,, .
.
实数的取值范围为 . ………14分
【思路点拨】依据导数求出切线斜率，再列出切线方程，再依据函数的导数判定函数的单调性，争辩t的取值范围求出函数的最小值，第三问利用导数与已知条件可解出a的取值范围.

【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】3、定义在R上的函数满足，且时，
，则
A．1 B． C． D．
【学问点】函数的奇偶性与单调性 B3,B4
【答案】【解析】C 解析：由，由于，所以，，所以
.故选
【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间，再求出结果.

【数学文卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】22．（本小题满分15分）已知函数，为常数．
（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【学问点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】（1）当时，最大值为，最小值为1。（2）
（1）当时， 所以当时，
当时，所以在上的最大值为，最小值为1。
（2）由于
而在上单调递增
所以当时，必单调递增，得即
当时，亦必单调递增，得即
且恒成立
故所求实数的取值范围为。
【思路点拨】先争辩去确定值依据单调性求出最值，依据二次函数的单调性求出a值。

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】16．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题
(1) (2) 在[-2，2]上有5个零点
(3) 点(2022，0)是函数的一个对称中心
(4) 直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是
【学问点】奇函数 函数的单调性 函数的其图像B3 B4 B10
【答案】【解析】(1) (2) (3) 解析：由奇函数的性质知所以(1)正确；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函数的周期为2，又当且时，有，所以函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数模型如图：

由函数模型知(2)(3)也正确，所以正确的序号为(1) (2) (3).
【思路点拨】抓住函数的性质特征，利用函数模型结合其图像特征解题即可..

【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题. B3 B4 E8
【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R 上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：
，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.
【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为
，对恒成立.所以只需求在
上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以
或.

【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】10.函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】B 令2x=t（t＞0），则函数y=4x+2x+1+1可化为：y=t2+2t+1=（t+1）2，
∵函数y在t＞0上递增，∴y＞1，即函数的值域为（1，+∞），故答案为：B.
【思路点拨】令2x=t（t＞0），将原不等式转化为y=t2+2t+1求出函数y在t＞0时的值域即可．

【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】4. 下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性函数的单调性B3 B4
【答案解析】D A选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。
【思路点拨】依据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果