2021高考数学(人教通用-文科)二轮专题训练·对接高考练习：选修4-5-不等式选讲.docx

A组(供高考题型为填空题的省份使用)
1．不等式x＋|2x－1|<3的解集为________．
解析　原不等式可化为
或
解得≤x<或－21时，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得1数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3x－2|≥a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是________．
解析　∵|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴a≤3.
答案　(－∞，3]
5．使关于x的不等式|x＋1|＋kx－4|≥|x－3＋4－x|＝1，
则f(x)min＝1，故a≤1.
答案　(－∞，1]
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析　令t＝|x＋1|＋|x－2|，得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.
答案　(－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
解析　原不等式可化为
或或
解得－≤x≤，
即原不等式的解集为.
答案　
9．(2022·江西重点盟校二次联考)若不等式＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为_．
解析　∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，
只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5.
答案　[－3,5]
10．(2022·临沂模拟)对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足________．
解析　∵|2－x|＋|3＋x|≥5，
∴要使|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，
即5≥a2－4a，解得－1≤a≤5.
答案　[－1,5]
11．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是________．
解析　|3x－b|<4⇒<x<⇒
⇒5等式>|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析　＝|x|＋≥2，所以|a－5|＋1<2，
即|a－5|<1，∴4
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解　(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
当x<－时，由f(x)＝－x－5>2得x<－7，
∴x<－7；
当－≤x<4时，由f(x)＝3x－3>2得x>，
∴2，得x>－3，∴x≥4.
故原不等式的解集为
.
(2)画出f(x)的图象如图：
∴f(x)min＝－.

2．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明　由于a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥.
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2，
所以＋＋＋abc≥2.
3．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明　法一　由于a、b、c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，②
所以2≥9(abc)－.
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
法二　由于a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立，
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
4．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．
解　∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成马上可．
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5，知0<≤，∴a≥.
5．(2022·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
(1)证明　由a＞0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解　f(3)＝|3＋|＋|3－a|.
当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
6．(2022·沈阳模拟)已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，
由确定值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到点1、2的距离之和大于等于2.
∴x≥或x≤.
∴不等式的解集为.
注：也可用零点分段法求解．
(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，
∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，
∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.
∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．