高中数学(北师大版)选修2-1教案：第1章-全称量词与存在量词-参考教案2.docx

1.3 全称量词与全称命题
一、创设情境
在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今日我们将特地学习和争辩这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词
①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船
分析:①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁简洁，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应当讲求形象性，同时要遵从习惯性，并留意机敏性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试
全部已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今日争辩的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的赐予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？
（1）对全部的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；
（6）有一个自然数s使得对于全部自然数n，有s=n×n；
分析:上述命题中含有：“全部的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究
命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词规律中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“全部”、“任何”、“一切”等。其表达的规律为：“对宇宙间的全部事物x来说，x都是F。”例句：“全部的鱼都会游泳。”
存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的规律为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。
全称命题：其公式为“全部S是P”。例句：“全部产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有才智的。”
特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数同学星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。
问题3：推断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）假如两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集；
分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；
四、数学理论
1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：
(1)全称量词
日常生活和数学中所用的“一切的”，“全部的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的全部个体。
(2)存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体。
3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性命题。
全称命题的格式：“对M中的全部x，p(x)”的命题，记为:
存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。
五、巩固运用
例1推断以下命题的真假：
（1） （2） （3） （4）
分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；
例2指出下述推理过程的规律上的错误：
第一步：设a=b，则有a2=ab
其次步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2
第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)
第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b
第五步：由a=b代人得，2b=b
第六步：两边都除以b得，2=1
分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b
第六步错：因b可能为0，两边不能马上除以b，需争辩。
心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不行靠。
同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。
例3推断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，假如是，用量词符号表达出来。
（1）中国的全部江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向；
分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；
（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；
（3）全称命题，x∈R，；
（4）全称命题，，有方向；
六、回顾反思
要推断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要推断一个存在性命题为假，必需对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。
要推断一个全称命题为真，必需对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要推断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。