2021高考数学(人教版)一轮复习学案23-正弦定理和余弦定理.docx

第五章 解三角形与平面对量
学案23　正弦定理和余弦定理
导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.把握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题．

自主梳理
1．三角形的有关性质
(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________；
(2)a＋b____c，a－bb⇔sin A____sin B⇔A____B；
(4)三角形面积公式：S△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________；
(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或___________⇔三角形为等腰或直角三角形；
sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos .
2．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
________________
＝2R
a2＝____________，
b2＝____________，
c2＝____________.
变形
形式
①a＝__________，
b＝__________，
c＝__________；
②sin A＝________，
sin B＝________，
sin C＝________；
③a∶b∶c＝__________；
④＝
cos A＝______
cos B＝________________；
cos C＝_______________.
解决
的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．

①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
自我检测
1．(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
A．确定是锐角三角形
B．确定是直角三角形
C．确定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2．(2010·天津)在△ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 (　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．(2011·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为(　　)
A．2 B.
C. D．3
4．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，
sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
5．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.

探究点一　正弦定理的应用
例1　(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c；
(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.

变式迁移1　(1)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________；
(2)在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，则B＝________.
探究点二　余弦定理的应用
例2　(2011·咸宁月考)已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tan A的值．

变式迁移2　在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.

探究点三　正、余弦定理的综合应用
例3　在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，假如(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试推断该三角形的外形．

变式迁移3　(2010·天津)在△ABC中，＝.
(1)证明：B＝C；
(2)若cos A＝－，求sin的值．

1．解斜三角形可以看成是三角变换的连续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．
2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能毁灭一解、两解或无解的状况，应结合图形并依据“三角形中大边对大角”来推断解的状况，作出正确取舍．
3．在解三角形中的三角变换问题时，要留意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于 (　　)
A．－ B. C．－ D.
2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则等于 (　　)
A．－ B．－ C. D.
3．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的外形为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
4．(2011·聊城模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°

5．(2010·湖南)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝a，则 (　　)
A．a>b B．a的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.
8．(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，则∠BAC的大小为________．
三、解答题(共38分)
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，=3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．

10．(12分)(2010·陕西)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

11．(14分)(2010·重庆)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.
(1)求sin A的值；
(2)求的值．

答案 自主梳理
1．(1)π　(2)>　(3)>　>　(4)bcsin A　(5)A＋B＝　2.＝＝　b2＋c2－2bccos A　a2＋c2－2accos B　a2＋b2－2abcos C　①2Rsin A　2Rsin B　2Rsin C　②　　　③sin A∶sin B∶sin C　　　
自我检测
1．C　2.A　3.C
4.　5.1
课堂活动区
例1　解题导引　已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要留意对解的状况进行推断，这类问题往往有一解、两解、无解三种状况．具体推断方法如下：在△ABC中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；②当a＝bsin A时，有一解；③当bsin Ab时，有一解；②当a≤b时，无解．
解　(1)由正弦定理＝得，sin A＝.
∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
综上，A＝60°，C＝75°，c＝，
或A＝120°，C＝15°，c＝.
(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.
由正弦定理＝＝，
得b＝＝4，c＝＝4＋4.
∴b＝4，c＝4＋4.
变式迁移1　(1)　(2)60°或120°
解析　(1)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150°，
∴A为锐角，∴sin A＝.
又∵BC＝1.
∴依据正弦定理得AB＝＝.
(2)由b>a，得B>A，由＝，
得sin B＝＝×＝，
∵0°2＝ac，得b＝a.
由余弦定理，得cos A＝＝.
∵0a，∴B>A，
∴cos A＝＝.
∴tan A＝＝.
方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A.
∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，
∴sin(－A)＝3sin A，
∴sincos A－cossin A＝3sin A，
∴cos A＋sin A＝3sin A，
∴5sin A＝cos A，
∴tan A＝＝.
变式迁移2　解　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B
＝a2＋c2－2accosπ
＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3，
联立，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.
∴a等于1或3.
例3　解题导引　利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．
解　方法一　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)
⇔a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正弦定理，得
sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A，
∴sin Asin B(sin Acos A－sin Bcos B)＝0，
∴sin 2A＝sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，
得2A＝2B或2A＝π－2B，
即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二　同方法一可得2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，
由正、余弦定理，即得
a2b×＝b2a×，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，
∴a＝b或c2＝a2＋b2，
∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
变式迁移3　解题导引　在正弦定理＝＝＝2R中，2R是指什么？a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C的作用是什么？
(1)证明　在△ABC中，由正弦定理及已知得
＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.
由于－π
所以sin
＝sin 4Bcos ＋cos 4Bsin
＝.
课后练习区
1．D　2.D　3.B　4.B　5.A
6．等边三角形
解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，
∴a＝c，又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
7．1
解析　由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°知，B＝60°.
由正弦定理知，＝，
即sin A＝.
由a
则tan α＝，tan β＝，
∴tan∠BAC＝tan(α＋β)＝
＝＝1.
∵∠BAC为锐角，∴∠BAC的大小为.
9．解　(1)由于cos＝，
所以cos A＝2cos2－1＝，sin A＝.……………………………………………………(4分)
又由·＝3得bccos A＝3，所以bc＝5，
因此S△ABC＝bcsin A＝2.…………………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝20，所以a＝2.………(12分)
10．解　

在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得，
cos∠ADC＝
＝＝－，…………………………………………………………………(6分)
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………(8分)
在△ABD中，AD＝10，B＝45°，
∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝
＝＝5.…………………………………………………………………………(12分)
11．解　(1)∵3b2＋3c2－3a2＝4bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得，cos A＝＝，……………………………………………(4分)
又0