【北京特级教师】2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：空间几何体的表面积与体积-二.docx

学科：数学
专题：空间几何体的表面积与体积
题1
一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为(　　)
A. B. C. D.

题2
正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则此球的体积为________．

题3
一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋

题4
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积．(　　)

A．与x，y都有关 B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关 D．与y有关，与x无关

题5
直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积．

题6
设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2

题7
在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

题8
正四棱台的高为12cm，两底面的边长分别为2cm和12cm．
（Ⅰ）求正四棱台的全面积；（Ⅱ）求正四棱台的体积．

题9
如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．

题10
如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．

题11
已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.

题12
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°,AC=6，BC=CC1= ，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是__________.

课后练习详解
题1
答案：C
详解:设圆锥底面半径为，高为h，球的半径为，则圆锥体积为，球的体积为.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的3倍，即＝3.由圆锥与球的体积相等有＝，将＝代入，有＝，故＝＝.
题2
答案：π
详解:如图所示，设底面中心为O′，球心为O，设球半径为R，∵AB＝2，则AO′＝，PO′＝＝2，OO′＝PO′－PO＝2－R.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2⇒R2＝()2＋(2－R)2，∴R＝，∴V球＝πR3＝π.

题3
答案：C
详解:由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为
V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋，故选C.
题4
答案：C
详解:
设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，明显与x有关、与y无关，故选C.
题5
答案：π.
详解:

如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．
设CD＝x，则AB＝x，AD＝AB－CD＝，BC＝x.
＝＋＋＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·AD·BC
＝π·＋2π··x＋π··x＝πx2.
依据题设，πx2＝(5＋)π，则x＝2.
所以旋转体体积
V＝π·AD2·CD＋AD2·(AB－CD)＝π×12×2＋×12×(3－2)＝π.
题6
答案：B
详解:

如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有
r＝DB＝＝＝，
∴S表＝4πr2＝4π×＝πa2.
题7
答案：2500πcm2.
详解:如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.

∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm，同理π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm．
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15.
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25 cm．∴S球＝4πR2＝2500π cm2．
∴球的表面积为2500π cm2.
题8
答案：512 cm2; 688 cm3
详解:（Ⅰ）斜高 cm
S正四棱台=S上+S下+S侧=22+122+ 12×（2+12）×13=512 cm2
（Ⅱ）V= 13（S++S′）h= 13（22++122）×12=688 cm3
题9
答案：(1)见详解.
(2) 表面积22＋4 cm2，体积10 cm3．
详解: (1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积为：
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4 cm2，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2
＝10 cm3．
题10
答案：
详解:

已知长方体可以看成直四棱柱．
设它的底面面积为，高为，则它的体积为．
而棱锥的底面面积为，高是，
因此棱锥的体积．
余下的体积是．
所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5．
题11
答案：
详解:由三视图知，此几何体可以看作是一个边长为2的正方体被截去了一个棱台而得到，此棱台的高为2，一底为直角边长为2的等腰直角三角形，一底为直角边长为1的等腰直角三角形，棱台的两底面的面积分别为

该几何体的体积是
题12
答案：.
详解:

将△BCC1沿直线BC1折到面A1C1B上，如图,连接A1C，即为CP+PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD=1，C1D=1，A1D=A1C1+C1D=7，