1、汇文中学2022-2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
第一卷
一、填空题：（本大题共8小题，每题5分，共40分。请将答案填在答卷上）
1．抛物线的焦点坐标为 ▲ ．
2．“”是“”的 ▲ 条件．
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）
3．在平面直角坐标系中，若点在直线的上方（不含边界），
则实数a的取值范围是 ▲ ．
4．已知函数，则在区间上的平均变化率为 ▲ ．
5．双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为
2、▲ ．
7．一物体做加速直线运动，假设s时的速度为，则时物体的加速度
为 ▲ ．
8．不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共4道题，满分60分。答题应有必要的步骤和推理过程）
9．（本题满分14分）
已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在x轴上．若命题为真命题，求实数m的取值范围．
10．（本题满分14分）
已知函数．
（1）若曲线的一条切线的斜率是2，求切点坐标；
（2）求在点处的切线方程．
11．（本题满分16分）
已知一个圆经过直线
3、l：与圆C：的两个
交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．
12．（本题满分16分）
如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的
右准线，F到直线l的距离等于3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰
三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
O
l
F
其次卷
一、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。请将答案填在答卷上）
13．直线l：y＝x－1
4、被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为 ▲ ．
14．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则t的取值范
围是 ▲ ．
15．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积
等于2，则实数a的值为 ▲ ．
16．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方
部分相交于点A，则AF= ▲ ．
17．对任意实数λ，直线l1：x＋λy－m－λn＝0与圆C：x2＋y2＝r2总相交于两不同点，则
直线l2：mx＋ny＝r2与圆C的位置关系是 ▲
5、 ．
18．双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点
为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则
该双曲线的离心率e＝ ▲ ．
二、解答题：（本大题共2道题，满分30分。答题应有必要的步骤和推理过程）
19．（本题满分14分）
已知圆M的圆心在直线上，且过点、．
（1）求圆M的方程；
（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：引切线，切点为Q．摸索究：
平面内是否存在确定点R，使得为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说
明理由
6、．
20．（本题满分16分）
已知椭圆G：过点，，C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．
汇文中学2022-2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷答案
第一卷
一、填空题：1．（1，0）；2．充分不必要；3．；4．2；5．；6．5；7．4；8．．
二、解答题：
9．（本题满分14分）解：：；
7、由为真知，皆为真，解得．
10．（本题满分14分）解：（1）切点坐标为；（2）切线方程为
11．（本题满分16分）解法一：由解得或，
过该两点的圆的面积最小，可求得其方程为
解法二：所求圆的圆心为的交点，可求得，
可求得其方程为
x
y
O
l
F
解法三：圆系方程可求得其方程为
12．（本题满分16分）
解：（1）设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由已知，得∴∴b＝．所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1．
（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．
①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”冲突，
∴PF不行能与PM相等．
②若
8、FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由＋＝1，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，
∴x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．
∴P(，±)．综上，存在点P(，±)，使得△PFM为等腰三角形．
其次卷
一、填空题：13．2；14．[1，5)；15．3；16．4；17．相离；18．．
二、解答题：
19．（本题满分14分）解：（1）圆M：；
（2）设，，则，即，
又，，
故，，
又设为定值，故，
可得，解得或，
综上，存在点或满足题意．
20．（本题满分16分）解：（1）将点A（0，5），B（-8，-3）代入椭圆G 的方程解得
（2）连结OB，
则，
其中,分别表示点A，点B 到直线CD 的距离．
设直线CD方程为y = kx，代入椭圆方程得，
解得：，，
又，
则
．
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