1、其次节 参数方程
时间：45分钟 分值：100分
一、填空题
1．直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
解析 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析 曲线C化为一般方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.
答案 ±
3．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，
2、对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
解析 当t＝时，x＝1，y＝2，则M(1,2)，∴直线OM的斜率k＝2.
答案 2
4．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.
答案 4 －1
5．直线(t为参数)与曲线
(α为参数)的交点个数为__________．
解析 将直线化为一般方程为x＋y－1＝0，曲线
3、转化为一般方程为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＜r＝3，故直线与曲线的交点个数为2.
答案 2
6．(2022·皖北联考)直线(t为参数)交极坐标方程为ρ＝4cosθ的曲线于A、B两点，则|AB|等于__________．
解析 由题意得直线方程为x＋y－4＝0，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线的距离为d＝，弦|AB|＝2＝2＝2.
答案 2
7．(2021·安徽模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(t为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长等于__________．
解析 圆C的方程为(x＋1)2＋
4、y－2)2＝25，直线l的方程为3x＋4y－10＝0，圆心到直线的距离为d＝＝1，弦长为2＝4.
答案 4
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 ρcosθ＝4化为一般方程x＝4，化为一般方程y2＝x3，联立解得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.
答案 16
9．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
5、
解析 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案 1
二、解答题
10．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的一般方程；
(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．
解 (1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4
6、x；
由(t为参数)，得y＝(x－5)，即直线l的一般方程为x－y－5＝0.
(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，弦长|PQ|＝2 ＝，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝3.
11．(2022·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解 (1)C的一般方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得
7、C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，由于C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.
故D的直角坐标为
，即.
12．长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，＝2，点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；
(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值．
解 (1)设P(x，y)，由题设可知，
x＝|AB|cos(π－α)＝－2cosα，
y＝|AB|sin(π－α)＝sinα，
所以曲线C的参数方程为(α为参数，90°<α<180°)．
(2)由(1)得
|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4
＝－3sin2α＋4sinα＋8＝－32＋.
当sinα＝时，|PD|取最大值.
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