2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第四章第2课时.docx

[基础达标]
1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)

A．b－a B．b＋a
C．a＋b D．a－b
解析：选A．＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－A．
2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是(　　)
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：选D．∵a＝(，1)，b＝(0，－2)，
∴a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，故向量c可以是(－1，)．
3．(2022·湖北荆州质检)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：选C．由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，由于ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.
4．已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2.
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．∵由题意得kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正确；∵＋＝，∴②错误∵＋＝(0，2)＝，∴③正确；∵－2＝(－4，0)，＝(－4，0)，∴④正确．
5．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)
A． B．
C．－3 D．0
解析：选D．＝－，＝－，
∴＝－－＝－－，
∴＝－，∴＝－.
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0.
6．(2021·高考北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．
由c＝λ a＋μ b，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.
答案：4
7．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
解析：＝(a－1，3)，＝(－3，4)，
据题意∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，
∴a＝－.
答案：－
8．已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝－，则的坐标为________．
解析：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，
＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6)．
由于＝，＝－，
所以有和.
解得和.
所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)，
从而＝(－2，－4)．
答案：(－2，－4)
9. 如图所示，已知▱ABCD的两条对角线相交于点O，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，，和.

解：∵＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b，
且四边形ABCD是平行四边形，
∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋B．
10．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．
解：(1)＝t1＋t2
＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
当点M在其次或第三象限时，
有
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，
由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
∵＝－＝(4，4)，
＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
∴A、B、M三点共线．

[力气提升]
1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(21)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D．∵a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴，即.
∴a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
2．(2022·陕西黄陵一模)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析：选C．若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.
3．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
解析：令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)，
∴消去x得d＝sin(c－)，
∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．
答案：[－，]
4. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

解析：由题意得，＝k(k<0)，又|k|＝<1，∴－12∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝B．

(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝.
由平行四边形法则，得＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－B．
(2)如题图，∥.
又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
6. (选做题)如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．

(1)求||；
(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△OAB的面积最小，并求出最小值．

解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.
|ON|＝1，|OM|＝|NP|＝1，∠ONP＝120°，
∴||＝
＝.
(2)设||＝x，||＝y.
＝m＋n(m＋n＝1)，
则＝m＋n＝mxe1＋nye2.
得⇒＋＝1.
S△AOB＝||||sin 60°＝xysin 60°＝xy.
由于＋＝1≥，
所以≥2，S△AOB＝xy≥，
当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.