【2021届备考】2021届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期)：F单元-平面向量.docx

F单元　平面对量
名目
F单元　平面对量 1
F1　平面对量的概念及其线性运算 1
F2　平面对量基本定理及向量坐标运算 3
F3　平面对量的数量积及应用 7
F4 单元综合 17

F1　平面对量的概念及其线性运算

【数学理卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】12．在中，，与交于点，设=，=，则(用,表示)
【学问点】向量的线性运算性质及几何意义F1
【答案】【解析】解析：∵三点共线，
，
∵三点共线，，
即，且，所以，所以．
故答案为：
【思路点拨】由三点共线，知；
由三点共线，知，所以
，所以．

【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】16．设向量，，其中为实数．若，则的取值范围为_____▲____．
【学问点】三角函数的性质向量相等函数的单调性F1 C3 B3
【答案】【解析】[－6,1]解析：由得，得,解得，则，所以函数在区间上单调递增，当时得最小值为－6,当x=2时得最大值为1,所以所求的范围是[－6,1].
【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系，再利用三角函数的性质求出λ的范围，再利用导数推断单调性，利用单调性求函数的值域.

【数学理卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）6．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，
则点P确定是△ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【学问点】平面对量的线性运算F1
【答案】【解析】B解析：设D为BC的中点，可得，所以，即，即，结合D为BC的中点，可得P在BC的垂直平分线上又∵点P是△ABC的内心、外心、重心和垂心之一∴结合三角形外接圆的性质，得点P是△ABC的外心，故选择B.
【思路点拨】：设D为BC的中点，可得，．依据向量数量积的运算性质，得到，即，可求得.

F2　平面对量基本定理及向量坐标运算

【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】10. （原创）已知O为坐标原点，，,，，记、、中的最大值为M，当取遍一切实数时，M的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【学问点】向量模的坐标运算；向量模的最值. F2
【答案】【解析】C解析：由于，,，
所以，（1）当a=0时，M≥，
（2）当a=7（A、B、C三点共线）时，则点P落在AB中点时，M取得最小值，,
(3)当a≠0且a≠7时，P落在△ABC的外心Q 时，M有最小值
∵ Q所在的直线与AB 垂直，故Q 在直线y=x 上，若,则y≥x；
当y≥x时
∵到点C距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：，交直线y=x于P，∴，∴当a=2时，M取得最小值，
综上得：M的取值范围是，故选C.
【思路点拨】（1）当a=0(A、B、O三点重合)时，P是OC中点时，M最小；（2）当a=7（A、B、C三点共线）时，则点P落在AB中点时，M取得最小值；(3)当a≠0且a≠7时，P落在△ABC的外心Q 时，M有最小值.三种状况下M均无最大值，故分类争辩出M的最小值，即可得到答案.

【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】5．在△ABC中，是边所在直线上任意一点，若，则＝【】
A．1 B．2 C．3 D．4
【学问点】平面对量的基本定理及其意义．F2
【答案】【解析】C解析：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，
∴存在实数μ，使得=μ，即
化简得=，
∵=﹣2+λ，∴结合平面对量基本定理，得，解之得λ=﹣3，μ=﹣
故选：C
【思路点拨】依据A、M、B三点共线，可得存在实数μ使=μ成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．

【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】5．在△ABC中，是边所在直线上任意一点，若，则＝【】

A．1 B．2 C．3 D．4
【学问点】平面对量的基本定理及其意义．F2
【答案】【解析】C解析：∵△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，
∴存在实数μ，使得=μ，即
化简得=，
∵=﹣2+λ，∴结合平面对量基本定理，得，解之得λ=﹣3，μ=﹣
故选：C
【思路点拨】依据A、M、B三点共线，可得存在实数μ使=μ成立，化简整理得=，结合已知等式建立关于λ、μ的方程组，解之即可得到实数λ的值．

【数学理卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】15．设是按先后挨次排列的一列向量，若，
且，则其中模最小的一个向量的序号___▲____．
【学问点】向量的坐标运算F2
【答案】【解析】1002或1001解析：由于，所以，由于二次函数的对称轴方程为，又n为正整数，所以当n=1002或1001时模最小.
【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.

【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】18.（原创）（本题满分13分）已知中，角的对边分别为，且有.⑴求角的大小；
⑵设向量,且，求的值.
【学问点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2
【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：⑴由条件可得：
整理得：
所以，又，故
⑵由可得：
整理得：
从而（舍去）
又，为锐角
故，
于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得；（2）由可得
,可得的值.

【数学文卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】9．如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，D、E
分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一

点，则的取值范围是
A．[-7，7] B．[-8，8]
C．[-9，9] D．[-10，J．O]
【学问点】平面对量基本定理F2
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=，=16+4=20．∴()•=()• 
==2以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），

点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，
故有．令t==（-4，1）•x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7-0+2=9，故t=的取值范围是[-9，9]，
【思路点拨】由条件可得=，故()•=()• 
=，由此求得()•的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简洁的线性规划求得t=的取值范围．

【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】15. 设是按先后挨次排列的一列向量，若，
且，则其中模最小的一个向量的序号▲．
【学问点】向量的坐标运算F2
【答案】【解析】1002或1001解析：由于，所以，由于二次函数的对称轴方程为，又n为正整数，所以当n=1002或1001时模最小.
【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.

F3　平面对量的数量积及应用

【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】6．（原创）在△ABC中，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【学问点】三角形面积公式；向量的数量积. F3
【答案】【解析】D解析：=
所以=，故选D.
【思路点拨】由三角形的面积公式求得sinA ，进而得到cosA，再用向量数量积公式求解.

【数学理卷·2021届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（202212）word版】8．已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且，若··，则实数的值为
A．2 B． C．1－ D．
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案】C
【解析】设等边三角形ABC的边长为1．则||=λ||=λ，||=1-λ．（0＜λ＜1）
•=()•=•+•=.，
所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1-λ）cos180°．化简-+λ=-λ（1-λ），整理λ2-2λ+=0，
解得λ=λ=＞1舍去）
【思路点拨】将表示为,利用向量数量积公式，将关系式化简得出关于λ的方程并解出即可．留意0＜λ＜1．

【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】
A．3 B．4 C．5 D．6
【学问点】向量在几何中的应用；平面对量的综合题；正弦定理的应用．C8 F3
【答案】【解析】A解析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，依据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）
A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）
设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），
∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故选C．

【思路点拨】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．

【数学理卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为【】
A．3 B．4 C．5 D．6
【学问点】向量在几何中的应用；平面对量的综合题；正弦定理的应用．C8 F3
【答案】【解析】A解析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵•=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，依据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）
A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）
设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），
∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，
12=4x+3y≥，xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故选C．

【思路点拨】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值．

【数学理卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）】17．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
【学问点】正弦定理；平面对量数量积的运算．C8 F3
【答案】【解析】（Ⅰ）;（Ⅱ）
解析：( I )依题设：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，
故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos (A＋C)＝－(cosAcosC-sinAsinC)＝－(－)＝.
则:sinB＝＝＝
所以4:5:6…………………………………………6分
( II ) 由( I )知：4:5:6，
不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k.
依题设知：||2＋||2＋2||||cosC＝46 46k2＝46，又k＞0k＝1.
故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6.
△ABC的面积是…………………………………………12分
【思路点拨】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]开放即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．

【数学理卷·2021届江西省五校（江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）高三上学期其次次联考（202212）word版】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知为单位向量，当向量的夹角为时，在上的投影为.
【学问点】平面对量数量积的运算；平面对量数量积的含义与物理意义．F3 C8
【答案】【解析】解析：依据题意画出图形如下图：

设，依据余弦定理得：，所以,则在上的投影为，故答案为。
【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出．

【数学文卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】13.若向量的夹角为，，则
【学问点】向量的运算. F3
【答案】【解析】2解析：
=.
【思路点拨】把求向量的模，转化为数量积运算即可.

【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】16、(本小题满分12分)
已知向量，＝，函数，
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
【学问点】三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的运算．C5 F3
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（１）……………………………4分
单调递增区间是…………………………..6分
（２）
………………………………………………………….8分

函数f(x)的值域是………………………………………………..12分
【思路点拨】（1）首先依据=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后依据函数f（x）=•﹣cos2x，求出函数f（x）的解析式；最终依据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；（2）当x∈[0，]时，可得2x，然后求出函数f（x）的值域即可．

【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】14、如图，在边长为2的菱形ABCD中，为中点，则、

【学问点】平面对量数量积的运算．F3
【答案】【解析】1解析：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，
＜＞=60°，=180°﹣60°=120°，∵=，∴=（+•=•+•=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1，故答案为：1．
【思路点拨】将表示为，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．

【数学文卷·2021届湖南省衡阳市五校高三11月联考（202211）】４、已知，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B．C．D．
学问点】平面对量数量积的运算．F3
【答案】【解析】B解析：∵•（2+）=1，∴，
∵，∴，化为．
∴==﹣．故选B．
【思路点拨】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．

【数学文卷·2021届湖北省武汉华中师范高校第一附属中学高三上学期期中考试（202211）】16．把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．（1）当点与原点重合时，=；
（2）的最大值是_________．
【学问点】平面对量数量积的运算F3
【答案】【解析】(1)(2)
解析：（1）当A点与原点重合时，在轴上，，
则.
（2）如图令，由于故，
如图，，
故故
同理可求得即
当时，取最大值，则的最大值是．故答案为：1，2
【思路点拨】（1）求出的坐标，以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可得到；
（2）令，由边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积．

【数学文卷·2021届湖北省八校高三第一次联考（202212）word版】11．在边长为2的正△ABC中，则_________．
【学问点】向量数量积的计算. F3
【答案】【解析】-2解析：
【思路点拨】依据向量数量积的定义求解.

【数学文卷·2021届浙江省嘉兴一中等五校2021届高三上学期第一次联考（202212）】21.（本题满分14分）设向量，其中为实数．
（Ⅰ）若，且求的取值范围；
（Ⅱ）若求的取值范围．
【学问点】向量的数量积，三角函数的性质C3 F3
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）时，，由于，所以,整理得对一切均有解，当时，得，符合题意，当时，，解得，所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题意只需，由消元得，解不等式组，解得，所以.
【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系，再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解答.

【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】14. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则 .
【学问点】向量的数量积F3
【答案】【解析】解析：建立直角坐标系，则可得，所以，故答案为.
【思路点拨】建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．

【数学文卷·2021届河北省唐山一中高三上学期期中考试（202211）】11.若均为单位向量，，，则的最大值是（）
A． B. C．D.
【学问点】平面对量的数量积基本不等式F3 E6
【答案】【解析】A解析：由于均为单位向量，所以，整理可得，即，所以的最大值是2，故选择A.
【思路点拨】将向量进行平方，依据均为单位向量，可得，在依据基本不等式求得，即可得的最大值是2.

F4 单元综合

【数学理卷·2021届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（202211）word版】12已知若，则___________
【学问点】向量垂直的性质；向量数量积的坐标运算. F4
【答案】【解析】-1或3解析：∵，所以，
又∵，∴
解得：x= -1或x=3.
【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为0，得关于x 的方程求解.