辽宁省东北育才学校2022届高三上学期第二次模拟考试-数学(理)-Word版含答案.docx

2021—2022学年度上学期高中学段高三联合考试
高三班级数学（理）科试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：王乐双 校对人：
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.集合，，则（ ）
A B. C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠，则tanα≠1 B若α=，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠ D.若tanα≠1，则α=
4.已知函数（其中）的图象如右图所示，

则函数的图象是下图中的（ ）

A B C D

5.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是( )
A．[0，1] B．[3，5] C．[2，3] D．[2，4]
6.设若，则的值是( )
A.-1 B. 2 C. 1 D.-2
7.下面几个命题中，假命题是（ ）
A.“若,则”的否命题；
B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；
C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；
D .“”是“”的必要条件.
8.设均为正数，且，，，则( )
A. .B C. D.
9.如图，目标函数仅在封闭区域内（包括
边界）的点处取得最大值，则的取值范围是（ ）
A B C D
10.若定义在上的函数满足：对于任意有，且时，有，设在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11.函数，则下列说法中正确命题的个数是（ ）
①函数有3个零点；
②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；
③函数的极大值中确定存在最小值；
④，，对于一切恒成立．
A. B. C. D.
12.已知函数在上非负且可导,满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.

第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________；
14．不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点则实数的取值范围是__________.
15.关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是________
16．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数
均为，每个数是它下一行左右相邻两数的
和，如，，，…，
则第10行第3个数（从左往右数）为____.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
记函数的定义域为A，的定义域为B．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．
18.（本小题满分12分）
在数列中，已知，其前项和满足.
(1)求的值；(2)求的表达式；
(3)对于任意的正整数，求证：.
19.（本小题满分12分）年世博会在上海召开，某商场估量年从月起前个月顾客对某种世博商品的需求总量；
（1）写出第个月的需求量的表达式；
（2）若第个月的销售量（单位：件），每件利润，求该商场销售该商品，估量第几个月的月利润达到最大值？月利润的最大值是多少？
20．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)争辩函数的单调区间；(Ⅱ)若在恒成立，求的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)摸索究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围

2021—2022学年度上学期高中学段高三联合考试
理科数学参考答案
一.1-----12 CDCA C BDACD BA
二. 13.1 14. 15. 16．
三.17.解析：（1）；（2）
18. [解析] 1.(1) 依次令可得，，；
 (2) 法一：由⑴猜想，下面用数学归纳法证明：①当时结论明显成立；②假设时结论成立，即，则
，故当时结论成立。综上知结论成立。
法二：猜想，下面用其次数学归纳法证明：①当时结论明显成立；②假设时结论成立，即，则

法三：，所以，同除得，时，，故，因此。又，故。
(3)法一：由(2) 知为等差数列，故。由知确定时，要使最小，则最大。明显
，故，因此，两边同除从而。
法二：由于，所以，，故，所以因此，从而，即。
法三：(i) 当时不等式明显成立；
(ii)假设时不等式成立，即
，则如“法二” 可证，故
，即当时不等式成立。综上得证。
19.解：（1）当时，； （2分）
当时，也满足，
故 （4分）
（2）设该商场第个月的月利润为元，则
①当且时，
，由，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
， （8分）
②当且时，
，由，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
， （11分）
综上，第个月时，最大利润为元 （12分）
20．解：（Ⅰ）
当时，单调递减，
单调递增。
当时，单调递增。 …………………4分
（Ⅱ），得到
令已知函数

单调递减，单调递增。
，即，
在单调递减，
在，，若恒成立，则。……………12分
21．【解析】(Ⅰ)则由题设可求的， ………………………2分
又
所以椭圆C的方程是． ………………………………………4分
(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）． 若直线l的斜率存在，设其方程为，
将它代入椭圆方程，并整理，得．……………………………5分
设点A、B的坐标分别为，则
由于及
所以

……………………8 分
当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ……………………9分
所以解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）． ………………………………………………10分
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）．
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件． ……………………………………12分
解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 ………………………………6分
由解得．
由此可知所求点T假如存在，只能是（0，1）． ………………………………7分
事实上点T（0，1）就是所求的点． 证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为，
代入椭圆方程，并整理，得 ……………8分
设点A、B的坐标为，则
由于，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）……………………………11分
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件． …………………………………12分
22．[解析] (Ⅰ) 由，
当时，则有函数在区间单调递增；
当时，, ，
函数的单调增区间为，单调减区间为，
综合①②的当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （5分)
(Ⅱ) 函数定义域为，
又，
令，
则，(7分)
，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，(8分)
有由（1）知当时，对，有，
即，
当且趋向0时，趋向，
随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，

故①当时，函数有两个不同的零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数无零点；(10分)
（3）由（2）知当时，，故对，
先分析法证明：
要证
只需证
即证
构造函数

故函数在单调递增，
，
则成立. (12分)
①当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.
②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
故当时，，所以，则不满足题意.
综合①②得，满足题意的实数的取值范围. (14分)