《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第九章-第7讲-离散型随机变量及其分布列.docx

第7讲　离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．全部取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简洁，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②pi＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X听从两点分布，则其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则大事{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.
X
0
1
…
m
P

…

[做一做]
1．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不行作为随机变量的是(　　)
A．取到红球的次数
B．取到白球的次数
C．2次取到的红球总数
D．取球的总次数
答案：D

1．辨明两个易误点
(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的大事是彼此互斥的．
(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
2．分布列的三种求法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
(3)由互斥大事的概率、相互独立大事同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
[做一做]
2．已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
…
n
P

…

则k的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由＋＋…＋＝1，
∴k＝1.
3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，
故P(X＝4)＝＝.
答案：

__离散型随机变量的分布列的性质______

　设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解]　由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5

7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
[规律方法]　离散型随机变量分布列性质的应用：
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要留意检验，以保证每个概率值均为非负；
(2)若ξ为随机变量，则2ξ＋1，|ξ－1|等照旧为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再依据对应的概率写出分布列．
　1.随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝___公差d的取值范围是________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，依据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，∴－≤d≤.
答案：　
__离散型随机变量的分布列(高频考点)____

离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式毁灭，试题难度不大，多为简洁题或中档题．
高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：
(1)与排列、组合有关的分布列的求法；
(2)与互斥大事有关的分布列的求法；
(3)与独立大事(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)
　(2022·高考江苏卷节选)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P.
(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数．求X的概率分布．
[解]　(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以P＝＝＝.
(2)随机变量X全部可能的取值为2，3，4.
{X＝4}表示的随机大事是“取到的4个球是4个红球”，
故P(X＝4)＝＝；
{X＝3}表示的随机大事是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
故P(X＝3)＝＝＝；
于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
P

[规律方法]　求离散型随机变量的分布列的三个步骤：
(1)找：找出随机变量X的全部可能取值xi(i＝1，2，…，n)，并确定X＝xi的意义；
(2)求：借助概率的有关学问求出随机变量X取每一个值的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)；
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．
　2.(2021·安徽省“江南十校”联考)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．
解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为＝，
则≥，
化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，
故n的最大值为16.
(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
X的分布列为
X
0
1
2
P

__超几何分布__________________________

　一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
[解]　(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为大事A，设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－＝，得到x＝5.
故白球有5个．
(2)X听从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
于是可得其分布列为
X
0
1
2
3
P

　　　在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
解：X听从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝4，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，
于是可得其分布列为
X
0
1
2
3
4
P

[规律方法]　超几何分布的特点
(1)对于听从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．
　3.为振兴旅游业，四川省面对国内发行总量为2 000万张的熊猫优待卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．
(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
解：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设大事B为“采访该团3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，大事A1为“采访该团3人，1人持金卡，0人持银卡”，大事A2为“采访该团3人，1人持金卡，1人持银卡”，
则P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝＋＝.
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ听从参数为N＝9，M＝6，n＝3的超几何分布，故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

交汇创新——离散型随机变量的概率与平面对量的交汇

　　　(2021·高考江西卷) 小波以玩耍方式打算是参与学校合唱团还是参与学校排球队．玩耍规章为：以O为起点再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参与学校合唱团，否则就参与学校排球队．

(1)求小波参与学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列和数学期望．
[解]　(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参与学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的全部可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为
X
－2
－1
0
1
P

E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×
＝－.
[名师点评]　离散型随机变量的概率与向量、不等式、方程等学问交汇是近年来命题的热点，解决本类问题的关键就是将向量、不等式或方程问题进行转化，使之成为解决离散型随机变量的概率问题的条件．

1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X全部可能取值的个数是(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．9
C．10 D．25
解析：选B.X的全部可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：选C.设X的分布列为
X
0
1
P
p
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.
3．设随机变量Y的分布列为
Y
－1
2
3
P

m

则“≤Y≤”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.依题意知，＋m＋＝1，则m＝.
故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.
4．在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不便利的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：选C.X听从超几何分布，P(X＝k)＝，
故k＝4，故选C.
5．若随机变量η的分布列为
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηη<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η＝1)＝3－8×＝.
答案：　
8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，登记它的颜色，然后放回，再取一球，又登记它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为________．
解析：X的全部可能值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P

答案：
X
0
1
2
P

9.(2021·长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开头营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为其次天开头营业时该商品的件数，求X的分布列．
解：(1)P(当天商店不进货)
＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
所以X的分布列为
X
2
3
P

10.(2022·高考重庆卷节选)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数字的中位数)
解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
p＝＝.
(2)X的全部可能值为1，2，3，且
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P

1．在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布．
解：(1)该顾客中奖的概率p＝1－＝1－＝.
(2)X的全部可能取值为0，10，20，50，60.P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝.故X的概率分布如下表所示：
X
0
10
20
50
60
P

2.2022年8月22日是邓小平同志110周年诞辰，为纪念邓小平同志110周年诞辰，促进广安乃至四川旅游业进一步进展，国家旅游局把2022年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安．为迎接今年旅游日的到来，某旅行社组织了14人参与“四川旅游常识”学问竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
答对题目个数
0
1
2
3
人数
3
2
5
4
依据上表信息解答以下问题：
(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；
(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列．
解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为大事A，则P(A)＝＝＝，
即3人答对题目个数之和为6的概率为.
(2)依题意可知X的全部可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
则P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，
P(X＝6)＝＝＝.
从而X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P

3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量ξ的概率分布；
(3)求甲取到白球的概率．
解：(1)设袋中原有n个白球，
由题意知＝＝＝，
所以n(n－1)＝6，
解得n＝3或n＝－2(舍去)．
即袋中原有3个白球．
(2)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5.
P(ξ＝1)＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以取球次数ξ的概率分布如下表所示：
ξ
1
2
3
4
5
P

(3)由于甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球．
设“甲取到白球”的大事为A，则P(A)＝P(ξ＝1或ξ＝3或ξ＝5)．
由于大事“ξ＝1”“ξ＝3”“ξ＝5”两两互斥，
所以P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.