1、第7讲 解三角形应用举例一、选择题1在某次测量中,在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50,且到A的距离为2,C点的俯角为70,且到A的距离为3,则B、C间的距离为()A. B.C. D.解析 因BAC120,AB2,AC3.BC2AB2AC22ABACcos BAC49223cos 12019.BC.答案 D2如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A,B间距离的是()A,a,b B,aCa,b, D,b解析选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似,故选A.答案A3一艘海轮从A处动身,以每小时40海里的速度
2、沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观看灯塔,其方向是南偏东70,在B处观看灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是 ()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如图所示,易知,在ABC中,AB20海里,CAB30,ACB45,依据正弦定理得,解得BC10(海里)答案A4. 如图,两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()A30 B45 C60 D75解析依题意可得AD20(m),AC30(m),又CD50(m),所以在ACD中,由余弦定理得cosCA
3、D,又0CAD180,所以CAD45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案B5如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析 由题意,得B30.由正弦定理,得,AB50(m)答案 A 6. 如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30,测得湖中之影的俯角为45,则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析在ACE中,tan 30.AE(m)在AED中,ta
4、n 45,AE(m),CM10(2)37.3(m)答案C二、填空题7如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC45,则塔AB的高是_米解析在BCD中,CD10,BDC45,BCD1590105,DBC30,BC10.在RtABC中,tan 60,ABBCtan 6010(米)答案108如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发觉一个生命迹象,然后向右转105,进行10 m到达C处发觉另一生命迹象,这时它向右转135后连续前行回到动身点,那么x_.解析由
5、题知,CBA75,BCA45,BAC180754560,.x m.答案 m9. 在2022年7月12日伦敦奥运会上进行升旗仪式如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最终一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30,且座位A,B的距离为10米,则旗杆的高度为_米解析由题可知BAN105,BNA30,由正弦定理得,解得AN20(米),在RtAMN中,MN20 sin 6030(米)故旗杆的高度为30米答案3010. 如图,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东角,前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛四
6、周n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船连续东行,当与满足条件_时,该船没有触礁危急解析由题可知,在ABM中,依据正弦定理得,解得BM,要使该船没有触礁危急需满足BMsin(90)n,所以当与的关系满足mcos cos nsin()时,该船没有触礁危急答案mcos cos nsin()三、解答题11如图所示,甲船由A岛动身向北偏东45的方向作匀速直线航行,速度为15 n mile/h,在甲船从A岛动身的同时,乙船从A岛正南40 n mile处的B岛动身,朝北偏东的方向作匀速直线航行,速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇,求m.(2)当m10时,求两船动身后多长时间距离最近,最近距离为
7、多少n mile?解 (1)设t小时后,两船在M处相遇,由tan,得sin,cos,所以sinAMBsin(45).由正弦定理,AM40,同理得BM40.t,m15.(2)以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2)处,则|AP|15t,|BQ|10t.由任意角三角函数的定义,可得即点P的坐标是(15t,15t),即点Q的坐标是(10t,20t40),|PQ|20,当且仅当t4时,|PQ|取得最小值20,即两船动身4小时时,距离最近,最近距离为20 n mile.12如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距
8、40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心马上把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,求cos 的值解如题图所示,在ABC中,AB40海里,AC20海里,BAC120,由余弦定理知,BC2AB2AC22ABACcos 1202 800,故BC20(海里)由正弦定理得,所以sinACBsinBAC.由BAC120,知ACB为锐角,则cosACB.易知ACB30,故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.13如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C
9、,从C点可以观看到点A,B;找到一个点D,从D点可以观看到点A,C;找到一个点E,从E点可以观看到点B,C;并测量得到数据:ACD90,ADC60,ACB15,BCE105,CEB45,DCCE1百米(1)求CDE的面积;(2)求A,B之间的距离解(1)在CDE中,DCE3609015105150,SCDEDCCEsin 150sin 30(平方百米)(2)连接AB,依题意知,在RtACD中,ACDCtanADC1tan 60(百米),在BCE中,CBE180BCECEB1801054530,由正弦定理,得BCsinCEBsin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 4
10、5sin 60sin 45,在ABC中,由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB,可得AB2()2()222,AB百米14某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇动身时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇(1)若期望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则S .故当t时,Smin10(海里),此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2400900t222030tcos(9030),故v2900,0v30,900900,即0,解得t.又t时,v30海里/时故v30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在OAB中,有OAOBAB20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
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