【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.8.docx

第四章 4.8第8课时
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　)
A．α>β　　　　　　　　　B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
答案　B

2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　)
A．c和a B．c和b
C．c和β D．b和α
答案　D
3．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(　　)
A．10 km B. km
C．10 km D．10 km
答案　D
解析　AC＝
＝＝10(km)．
4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)(　　)
A．180米 B．214米
C．242米 D．266米
答案　C
解析　

∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.
在△BDC中DC＝30，＝，
∴BC＝.
在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝＝242.
5．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)
A. m　　　B. m C. m　　　D. m
答案　A
解析　

在Rt△BAC中∠ABC＝30°，AB＝200，
∴BC＝＝，
∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，
∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°，
在△BDC中，＝，
∴DC＝＝＝(m)．
6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．(　　)
A．1 B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
答案　C
解析　

由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，
∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°
＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)
＝2＋2cos20°＝4cos210°，
∴BD＝2cos10°.
二、填空题
7．(2010·潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为____km.
答案　－1

解析　如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝－1.

8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．
答案　17500
解析　连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：
OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.
9．某校运动会开幕式上进行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最终一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．

答案　0.6
解析　在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝＝20；
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30(米)．
所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．
三、解答题

10．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°.
求：(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解析　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，
由正弦定理得＝，
即AD＝＝＝24(n mile)．
(2)在△ACD中，∵AC＝8，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝242＋(8)2－2×24×8cos30°＝192.
即CD＝8≈14(n mile)．

因此A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.
11.

如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O动身，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B动身，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时动身，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？

解析　设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连结CD，则快艇沿线段BC、CD航行．
在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，
∴∠BCO＝90°.又BO＝120，
∴BC＝60，OC＝60.
∴快艇从港口B到小岛C需要1小时．
在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．
由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.
∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2·20x·60·cos30°.
解得x＝3或x＝.∵x>1，∴x＝3.
答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇．
12.

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
答案　救援船到达D点需要1小时．
解析　由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝＝＝＝10(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
答：救援船到达D点需要1小时．
注：假如认定△DBC为直角三角形，依据勾股定理正确求得CD，同样给分．

老师备选题

1.

(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停靠着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．
答案　
解析　连接AC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝.
2．甲船在A处观看乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？
解析　

如图所示，AC为甲船的航行路线，BC为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到达C点的时间相等，都为t，则BC＝vt，AC＝vt.∠ABC＝120°.
由余弦定理可知
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，
即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.
所以2v2t2－avt－a2＝0.
解得t1＝，t2＝－(舍去)．
所以BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°.
即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a海里．
3．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇动身时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若期望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析　(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则
S＝
＝
＝，
故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)

设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．
由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：
v2＝－＋900＝400(－)2＋675.
由于010，
即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．
(3)由(2)知v2＝－＋900，设＝u(u>0)，
于是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：
解得15