1、
双基限时练(三十)
1．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)，与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
解析 直线与圆相切，则圆心到切线的距离d＝＝1，∴a2＋b2＝c2，故三角形为直角三角形．
答案 B
2．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )
A．2 B．2－2
C．2－4 D．2
解析 两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，∴两圆相离，∴A、B两点之间的最短
2、距离为2－4.
答案 C
3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2－(x2＋y2－1)2＝0表示的图形是( )
A．都是两个点
B．一条直线和一个圆
C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆
D．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆
解析 x(x2＋y2－1)＝0⇒x＝0，或x2＋y2－1＝0，则它表示一条直线x＝0和一个圆x2＋y2＝1；
x2－(x2＋y2－1)2＝0⇒(x＋x2＋y2－1)(x－x2－y2＋1)＝0，
∴x＋x2＋y2－1＝0，或x－x2－y2＋1＝0.
即(x＋)2＋y2＝，或(x－)2＋y2＝，它表示两个圆．因此选C.
答案 C
4．过原点的直
3、线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝－x
解析 设切线方程为y＝kx，圆的方程化为(x＋2)2＋y2＝1，而圆心(－2,0)到直线y＝kx的距离为1，
∴＝1.∴k＝±.
又∵切点在第三象限，∴k＝.
答案 C
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或 B.
C．－或 D.
解析 ∵∠POQ＝120°，∴点O到直线y＝kx＋1的距离d＝，又d＝＝，∴k＝±
答案 A
6．圆心为(1,
4、1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是____________．
解析 半径r＝＝
则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2
7．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析 由题意知CA⊥PA，
∴|CP|2＝|CA|2＋|PA|2.
∵C(－1,0)，|CA|＝2，|PA|＝1，
设P的坐标为(x，y)，
则(x＋1)2＋y2＝5.
答案 (x＋1)2＋y2＝5
8．与圆x2＋y2＝4切于点P(－1，)的切线方程为________．
解析 圆心(0,
5、0)，kOP＝－，
∴切线的斜率k＝，又切点为(－1，)，
∴切线方程为y－＝(x＋1)，
即x－y＋4＝0.
答案 x－y＋4＝0
9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
解析 由题意可知，直线x－y＋2＝0过圆心，所以－1－＋2＝0，a＝－2.
答案 －2
10．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.
(1)求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程；
(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求使|PM|最小时点P的坐标．
解
6、 (1)设横、纵截距相等的切线方程为
kx－y＝0与x＋y＋c＝0，则
＝与＝，解得k＝±1，c＝－4，或c＝0.
故切线方程为x＋y＝0，x－y＝0，x＋y－4＝0.
(2)设P(x，y)，由|PM|＝|PO|，得
＝，化简得点P的轨迹为直线x＝，要使|PM|最小，即要使|PO|最小，过O作直线x＝的垂线．∴垂足P(，0)是所要求的点．
11．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，
(1)求的最值；
(2)求y－x的最值；
(3)求x2＋y2的最值．
解 (1)∵圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3，其圆心为(2,0)，半径为.设＝k，即y＝kx.
当直线y＝
7、kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值．此时，＝，解得k＝±.
∴的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，＝，即b＝－2±.∴y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何学问可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，
∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.
12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2外一点P(2，－1)，过点P作圆C的切线PA，PB，其中A，B是切点．
(1)求P
8、A，PB所在的直线方程；
(2)求|PA|，|PB|的值；
(3)求直线AB的方程．
解 (1)由圆心C(1,2)，点P(2，－1)及半径r＝知，切线斜率肯定存在．设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
∵圆心到切线的距离等于半径．
∴＝，
即k2－6k－7＝0.解得k＝－1或k＝7.故切线方程为x＋y－1＝0或7x－y－15＝0.
即PA，PB所在的直线方程分别为x＋y－1＝0,7x－y－15＝0.
(2)∵|PC|＝＝，
∴|PA|＝|PB|＝＝2.
(3)由解得
∴A(0,1)．
由解得
∴B.
故直线AB的方程为＝，即x－3y＋3＝0.
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