【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.3.docx

第四章 4.3 第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C. D.
答案　A
解析　原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．已知sinα＝，cosβ＝，且α是其次象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　A
解析　由于α是其次象限角，且sinα＝，所以cosα＝－＝－.又由于β是第四象限角，cosβ＝，所以sinβ＝－＝－.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－(－)×(－)＝＝.
3．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　B
解析　由于α∈(0，)，sinα＝，所以cosα＝＝.
所以cos(α＋)＝(cosαcos－sinαsin)＝(cosα－sinα)＝cosα－sinα＝－＝
4．化简cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ的结果为(　　)
A．sin(2α＋β) B．cos(α－2β)
C．cosα D．cosβ
答案　C
解析　等式即cos(α－β＋β)＝cosα
5．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．ac>a.
6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则cosAcosB＝(　　)
A. B.
C. D．－
答案　B
解析　tanA＋tanB＝＋
＝＝＝＝＝
∴cosAcosB＝
7．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由于α＋＋β－＝α＋β，所以α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan
＝＝.
8．若3sinα＋cosα＝0，则的值为(　　)
A. B.
C. D．－2
答案　A
解析　3sinα＝－cosα⇒tanα＝－.
＝＝＝＝.
二、填空题
9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________．
答案　
解析　cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝.
10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，则tan (＋2α)＝________.
答案　－
解析　由cos 2α＝2cos2α－1＝－，且α为第三象限角，得cosα＝－，sinα＝－，则tan α＝2，tan2α＝－，tan(＋2α)＝＝－.
11．

如图，角α的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在其次象限，且tanβ＝－2，则cos∠POQ的值为________．
答案　－
解析　

tanβ＝tan(π－θ1)＝－tanθ1＝－2，∴tanθ1＝2，tanθ2＝.
tan∠POQ＝
＝－2＝.
又由sin2∠POQ＋cos2∠POQ＝1，得cos∠POQ＝－.
12．化简：＋＝________.
答案　－4cos2α
解析　原式＝＋＝
－＝－＝
－＝－4cos2α.
13．不查表，计算－＝________.(用数字作答)
答案　4
解析　原式＝
＝
＝
＝＝4.
三、解答题
14．求(tan10°－)·的值．
解析　(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·＝(－)·＝·＝·＝－＝－2.
15．已知sin(α＋)＝，且<α<.求cosα的值．
解析　sin(α＋)＝且<α<
∴<α＋<π
∴cos(α＋)＝－＝－
∴cosα＝cos[(α＋)－]
＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin
＝－×＋×＝.
16．已知tan2θ＝(<θ<π)，求的值．
解　∵tan2θ＝＝，
∴tanθ＝－3或tanθ＝，
又θ∈(，π)，∴tanθ＝－3，
∴＝＝
＝＝－.
拓展练习·自助餐

1．化简的结果是(　　)
A．tan9° B．－tan9°
C．tan15° D．－tan15°
答案　B
解析　
＝
＝
＝
＝－tan9°
2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
答案　B
解析　f(x)＝sin(2x－)，∴T＝＝π.
3．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
答案　B
解析　考查三角函数的运算与转化力气，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tanα＝求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即sin(α＋φ)＝－，其中tanφ＝，0<φ<，∴sin(α＋φ)＝－1，
∴α＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴tanα＝cotφ＝2.
也可观看得到答案．
4．已知sin(x＋)sin(－x)＝，x∈(，π)，求sin4x的值．
分析　由题设留意到＋x＋－x＝，因此需交换后再用公式求解．
解析　∵sin(x＋)sin(－x)＝sin(＋x)cos[－(－x)]
＝sin(x＋)cos(＋x)＝sin(2x＋)＝cos2x＝，∴cos2x＝.∵x∈(，π)，∴2x∈(π，2π)，∴sin2x＝－.∴sin4x＝2sin2xcos2x＝－.
探究　(1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应留意2α，2α－，α－等之间关系的运用．
(2)在求cos2x的过程中，本题也可接受如下方法：
sin(x＋)sin(－x)＝(sin x＋cosx)(cosx－cosx－sinx)＝(cos2x－sin2x)＝cos2x＝，从而得cos2x＝.

老师备选题

1．已知在△ABC中，cosBcosC＝1－sinB·sinC，那么△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案　B
解析　由条件知cosBcosC＋sinBsinC＝1，cos(B－C)＝1，B－C＝0，∴B＝C.
2．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件
答案　C
解析　在△ABC中，A＝π－(B＋C)
∴cosA＝－cos(B＋C)
又∵cosA＝2sinBsinC
即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC
∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝，∴B为钝角．
3．设α∈(0，)，β∈(，)，且α、β满足5sinα＋5cosα＝8，sinβ＋cosβ＝2，求cos(α＋β)的值．
解析　∵5sinα＋5cosα＝8，∴sin(α＋)＝.
∵α∈(0，)，∴(α＋)∈(，)，
∴cos(α＋)＝.
又∵sinβ＋cosβ＝2，∴sin(β＋)＝，
∵β∈(，)，∴(β＋)∈(，)，
∴cos(β＋)＝－，
∴sin[(α＋)＋(β＋)]＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin (β＋)＝－，
∴cos(α＋β)＝－.