福建省宁德市2021届高三单科质量检测数学(文)试题-Word版含答案.docx

2021年宁德市一般高中毕业班单科质量检查
数学（文科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．
留意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体体积公式 柱体体积公式，
其中为底面面积，为高
球的表面积公式 体积公式，
其中为球的半径

第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（为虚数单位）等于
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数可以是
A． B． C． D．
3．已知为其次象限角，则的值是
A． B． C． D．
4．如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗黄豆，
数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此试验数据可以估量出
椭圆的面积约为
A.4.7 B.4.8 C.1.2 D.1.3

5．的
A．充分不必要条件
6
4
正视图
侧视图
俯视图
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6. 已知一个几何体的三视图如图所示，
依据图中尺寸可得该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
7．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
开头
结束

？
输出

否
是

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
8. 运行如图所示的程序框图，则输出的全部
实数对所对应的点都在函数
A．的图像上
B．的图像上
C．的图像上
D．的图像上
9. 定义在上的函数满足.当时，.若在区间上函数有个零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
10. 若双曲线的渐近线与圆有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
11.不等式组围成的区域为，能够把区域的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为
A． B．
C． D．
12.一数字玩耍规章如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果均是由上一次生成的每一个数生成两个数，一个是，另一个是．设前次生成的全部数的和为，若，则
A．63 B．64 C．127 D．128

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．
13．某校参与“数迷会”社团的同学中，高一班级有50名，高二班级有40名．现用分层抽样的方法在这90名同学中抽取一个容量为18的样本，则在高二班级的同学中应抽取的人数为 .
14．若向量，，且∥，则＝ .
15．已知扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为 .
16．已知函数，若对于任意，不等式
恒成立，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，点在函数的图象上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）
某市一水电站的年发电量（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量（单位：毫米）有如下统计数据：

2010年
2011年
2022年
2021年
2022年
降雨量(毫米)
1500
1400
1900
1600
2100
发电量(亿千瓦时)
7.4
7.0
9.2
7.9
10.0

（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0(亿千瓦时)的概率；
（Ⅱ由表中数据求得线性回归方程为．该水电站方案2021年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2021年的降雨量约为1800毫米，请你猜想2021年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时?

B1
A1
A
B
C1
C
M

19．(本小题满分12分)
如图三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CM；
（Ⅱ）若CA=CB，A1在平面ABC的射影为M，
求证: 平面A1CM⊥平面ABB1 A1．

20.（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）在中角所对的边分别为，当时函数取到最值，
且的面积为，，求的值.

21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）求证：.

22.（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）直线交抛物线于A,B两点，过A,B分别作抛物线的切线交于点P．
（ⅰ）探究是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由；
P
B
x
y
A
O
（ⅱ）若直线与抛物线交于C,D，求证：．

2021年宁德市一般高中毕业班单科质量检查
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要学问和力气，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解法不同，可依据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础学问和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．C 12．A
二、填空题：本题考查基础学问和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．8； 14．； 15．1； 16．．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础学问；考查推理论证与运算求解力气，满分12分．
解：（I）∵点在函数的图象上，
∴ 1分
∴当时，, 2分
当时， 3分
4分
又满足 5分
∴ 6分
(II) ∵ 7分
9分
∴
11分
12分
18．本题主要考查概率、统计等基础学问，考查数据处理力气、抽象概括力气、运算求解
力气以及应用意识，考查或然与必定思想、化归与转化思想．满分12分．
解：（I）从统计的5年发电量中任取2年的基本大事为
共10个． 3分
（说明：若列出不足6个，不给分；若列出6个，不足10个且所列均正确者得1分）
其中2年发电量都低于（亿千瓦时）的基本大事为
共3个． 5分
所以这2年发电量都低于（亿千瓦时）的概率 6分
（II）∵ 7分
8分
又直线 过点， 9分
∴
解得，
∴． 10分
当时，, 11分
所以不能完成发电任务，缺口量为（亿千瓦时）． 12分
B1
A1
A
B
C1
C
M
N
证法一图
19．本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础学问；考查空间想象力气、推理论证力气，满分12分．
证法一：（I）连接交于点，则为的中点．……1分
∵为的中点，
∴．……………………………………………3分
又∵， ………………………………4分
， ……………………………………5分
∴．……………………………………6分
（II）∵，为的中点，
∴． …………………………………………7分
∵在平面的射影为，
∴，……………………………………8分
∴，…………………………………………9分
又，
∴，…………………………………10分
又，………………………………11分
∴ …………………………12分
证法二：A1
A
B
C1
C
M
B1
N
证法二图
（I）取中点，连结，………1分
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．…………………………………………2分
同理可得，
又，，…………3分
∴．…………………………………4分
同理．
∵，
∴，……………………………5分
∵，
∴． …………………………………6分
（II）同解法一．
20．本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础学问；考查运算求解力气，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分12分．
解：（I）依题意得：
2分
3分
， 4分
∵，
∴，
∴， 5分
∴． 6分
（II）∵，
∴．
∵在时取得最值，
∴． 8分
∵，
∴． 9分
∵，
∴ 10分

， 11分
∴ 12分
21．本题主要考查函数、导数、不等式等基本学问；考查运算求解力气、推理论证力气；考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想．满分12分．
解法一：（I） 1分
由可得；由可得 2分
∴在上单调递减，在上单调递增． 3分
(II) 4分
由（I）知在上单调递减，在上单调递增，
∴ 5分
∴在上单调递增， 6分
∴时， 7分
（III）由(II) 知当时，
即时， 8分
设函数
则 9分
由可得；由可得
∴在上单调递减，在上单调递增． 10分
∴
∴时， 11分
∴ 12分
解法二：（I）(II)同解法一．
（III）设
则 8分
∵在 上单调递增，
且 在上连续， 9分
∴存在唯一，使得，即 10分
∴时，在上单调递减，
时，在上单调递增， …………………………11分
∴
∴， 即 12分
22．本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础学问及直线与抛物线的位置关系；考查运算求解、抽象概括力气，化归与转化思想．满分14分．
解法一：（I）∵抛物线的焦点为 1分
椭圆的焦点为 2分
∴
∴抛物线的方程为 3分
（II）（ⅰ）联立得 4分

设
则， 5分
由，得
所以过的切线的方程为：
整理得： ① …………………………………6分
同理切线的方程为： ②
联立①②解得即 7分
当时，有……………………………………………8分
当时，有
所以为定值． 9分
P
B
x
y
A
O
C
D
F
（ⅱ）由（ⅰ）可设直线的方程为：．…………………10分
由得
设
则…………………11分
∵，
∴

………12分

=0
∴， 13分
又共线，
∴ 14分
解法二：（I）（II）（ⅰ）同解法一
（ⅱ）由（ⅰ）可设直线的方程为：．…………………10分
由得
设
则 11分
∴ 12分
由
得
∴ ……………………………………………………13分
∴，
P
B
x
y
A
O
C
D
F
C1
D11
∴ 14分
解法三：（I）,（II）（ⅰ）同解法一
（ⅱ）由（ⅰ）知在准线上， ………10分
过作为垂足，
则……………………12分
所以
即………………………14分