2022届数学一轮(理科)北师大版配套课时作业2-2--函数的单调性与最大(小)值.docx

第2讲　函数的单调性与最大(小)值

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·西安模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是 (　　)
A．y＝log2x B．y＝x
C．y＝－x D．y＝
解析　y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数；y＝x在(0，＋∞)上是增函数；y＝x在(0，＋∞)上是减函数，y＝－x在(0，＋∞)上是增函数；y＝在(0，
＋∞)上是减函数，故y＝在(0,1)上是减函数．故选D.
答案　D
2．(2022·济南模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是 (　　)
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析　∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，∴a≤1.①
又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．
∴a＋1>1，∴a>0.②
由①②知，0f(1)，
得即∴－1＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析　∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，
当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，
即f(x1)＜0，f(x2)＞0.
答案　B
二、填空题
6．(2022·中山质检)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________．
解析　由题意知，当x≥0时，
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；
当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函数的图像如图．

由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．
答案　(－∞，－1]，[0,1]
7．(2021·南昌质检)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析　由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案　3
8．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
解析　f(x)＝＝a－，
∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．
∴⇒⇒a≥1.
答案　[1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．
解　设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－－
＝－＝－.
由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f(x)＝－在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.
∵对任意实数x均有f(x)≥0恒成立，
∴∴
∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.
故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上确定 (　　)
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
解析　由题意知a＜1，又函数g(x)＝x＋－2a在[，＋∞)上为增函数，故选D.
答案　D
12．(2022·武汉二模)若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
解析　函数f(x)在(－∞，1)和[1，＋∞)上都为增函数，且f(x)在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最低点，即解得4≤a＜8.
答案　B
13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析　依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案　1
14．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，
∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.
又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，
则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.
∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞).