《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.8等比数列的综合应用-讲义.docx

第8课时等比数列的综合应用1.生疏等比数列的有关性质,并能运用这些性质解决相关问题.2.能够解决等比数列的一些综合问题.重点:等比数列的性质,等比数列的综合应用.难点:对等比数列性质的机敏应用.前面我们共同学习了等比数列的通项公式及前n项和公式,生疏了累乘法和错位相减法,也了解了等比数列的一些有关性质,这一节课我们将对等比数列中有关通项和前n项和的性质做一个系统了解,并用它们来解决一些综合问题.问题1:等比数列的通项公式为an=a1qn-1,等比数列的前n项和公式为:Sn=问题2:等差数列有丰富的性质,试通过下表进行类比得到等比数列的性质.序号等差数列an,公差为d等比数列an,公比为q1若m+n=k+l(m,n,k,lN*),则am+an=ak+al若m+n=k+l(m,n,k,lN*),则aman=akal2an=am+(n-m)d,d=an=amqn-m(m,nN*),qn-m=(m,nN*)3若N*,则am+an=2若N*,则aman=()24在等差数列中下标成等差的项组成的新数列仍为等差数列在等比数列an中,下标成等差的项组成的新数列仍为等比数列(续表)序号等差数列an,公差为d等比数列an,公比为q5an,bn为项数相同的等差数列,则man+kbn为等差数列,其中m,k均为常数若an,bn是项数相同的等比数列,则anbn,也为等比数列问题3:与等比数列的前n项和有关的常用性质有哪些?(1)设数列an是等比数列,Sn是其前n项和:当q=-1且k为偶数时,数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,不是等比数列;当q-1时,数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列且公比为qk.(2)在等比数列an中,若项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q.(3)在等比数列an中,Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.问题4:在等比数列an中,公比为q,Tn为其前n项的积,则数列Tn,成等比数列,其公比为.古希腊欧几里得几何原本第九卷命题35给出等比数列求和公式(Heath 1921).设有等比数列a1,a2,an+1,公比为q(q1).则由=,得=,由合比定律,我们又有=q-1,这等价于我们今日的Sn=(q1).1.在等比数列an中,anan+1,且a7a11=6,a4+a14=5,则等于().A.B.C.D.5【解析】由题意知a4a14=a7a11=6,联立得 又anan+1, =.【答案】B2.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于(). A.3B.2C.1D.-2【解析】由题意得b=1,c=2,则ad=bc=2.【答案】B3.在等比数列an中,若=2,S4=4,则S8=.【解析】设等比数列an的公比为q,由=2,得q4=2,S8=S4+q4S4=S4+2S4=3S4=12.【答案】124.在正项等比数列an中,已知a6-a4=24,a3a5=64,求等比数列an的前8项和S8.【解析】a3a5=64=,a4=8.a6-a4=24,a6=32,q2=4,得q=2或q=-2(舍去).a1=1,S8=28-1=255.等比数列通项性质的应用在各项均为正数的等比数列an中,已知a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(). A.5B.7C.6D.4【方法指导】利用等比数列的性质求解.【解析】(法一)由等比中项的性质知a1a2a3=(a1a3)a2=5,a7a8a9=(a7a9)a8=10,所以a2a8=5,所以a4a5a6=(a4a6)a5=()3=(5)3=5.(法二)由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9构成等比数列,所以(a1a2a3)(a7a8a9)=(a4a5a6)2,所以a4a5a6=5.又数列各项均为正数,所以a4a5a6=5.【答案】A【小结】求解本题的两种方法运用了等比数列的不同性质,事实上,也可以设出首项和公比,利用基本量的方法求解,但求解过程较为繁琐,应用性质求解简化了运算过程.等比数列前n项和的性质的应用若等比数列前n项、2n项、3n项的和分别为Sn、S2n、S3n.求证:+=Sn(S2n+S3n).【方法指导】本题考查等比数列前n项和公式的应用.可先分公比是否为1,将Sn、S2n、S3n用a1和q表示,再证明;也可利用等比数列的性质证明.【解析】(法一)设此数列公比为q,首项为a1.当q=1时,Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1,+=n2+4n2=5n2,Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2.+=Sn(S2n+S3n).当q1时,Sn=(1-qn),S2n=(1-q2n),S3n=(1-q3n),+=()2(1-qn)2+(1-q2n)2=()2(1-qn)2(2+2qn+q2n).又Sn(S2n+S3n)=()2(1-qn)2(2+2qn+q2n),+=Sn(S2n+S3n).(法二)依据等比数列性质,有S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn,+=+Sn(1+qn)2=(2+2qn+q2n),Sn(S2n+S3n)=(2+2qn+q2n).+=Sn(S2n+S3n).【小结】对比两种证明方法,法二既简洁又避开了争辩.从本题也可以看出利用等比数列前n项和的性质解题的简捷性.等比数列通项与前n项和的综合应用已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(nN*).(1)证明:数列an是等比数列;(2)若数列bn满足bn+1=an+bn(nN*),且b1=2,求数列bn的通项公式.【方法指导】(1)已知Sn求an需要分两步,求出其通项公式后再依据定义证明数列an是等比数列;(2)由递推关系和等比数列求和公式,利用累加法得到数列bn的通项公式.【解析】(1)由Sn=4an-3,得Sn-1=4an-1-3,所以an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,an=an-1,又a1=10,所以an是首项为1,公比为的等比数列.(2)由于an=()n-1,由bn+1=an+bn(nN*),得bn+1-bn=()n-1,所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=2+=3()n-1-1,所以数列bn的通项公式为bn=3()n-1-1.问题上述解题步骤完整吗?结论不完整,没有对n的取值进行分类争辩.于是,正确解答如下:(1)当n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.当n2时,Sn-1=4an-1-3,所以an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,即an=an-1,又a1=10,所以an是首项为1,公比为的等比数列.(2)由于an=()n-1,由bn+1=an+bn(nN*),得bn+1-bn=()n-1,所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=2+=3()n-1-1(n2),当n=1时也满足,所以数列bn的通项公式为bn=3()n-1-1.【小结】本题考查的是等比数列的综合应用,在解答时要留意分步求解an,并紧扣定义“当n2时,是一个常数”,从而证明数列an是等比数列,再利用累加法和等比数列前n项和公式求解数列bn的通项公式.在正项等比数列an中,若log2(a2a9)=4,q5=4,Tn表示数列an前n项的乘积,求T5的值.【解析】在等比数列an中,log2(a2a9)=4,所以a2a9=16,所以T10=a1a2a9a10=(a2a9)5=165.又由于T10=a1a2a5(a1q5)(a2q5)(a5q5)=q25=45,所以45=165=45=322,由于T50,所以T5=32.已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.【解析】设该等比数列的公比为q,项数为2n,则有S偶=qS奇q=2.又S2n=S偶+S奇=85+170,22n-1=255,2n=8.故这个数列的公比为2,项数为8.已知an是整数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上:(1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bnbn+2.【解析】(1)由已知得:an+1=an+1,所以数列是以1为首项,公差为1的等差数列,即an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知bn+1-bn=2n,当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2n-3+2+1=2n-1,明显b1=1符合上式,bnbn+2-=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-52n+42n=-2n0,bnbn+2.1.等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于().A.2B.-2C.2或-2D.2或1【解析】=q4,所以q=2.【答案】C2.在等比数列an中,a20+a21=10,a22+a23=20,则a24+a25等于().A.40B.70C.30D.90【解析】由于等比数列中a20+a21、a22+a23和a24+a25构成一个等比数列,所以(a22+a23)2=(a20+a21)(a24+a25),所以a24+a25=40.【答案】A3.一个等比数列an共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an+1=.【解析】an+1为数列an的中间项,其中奇数项有n+1项,偶数项有n项,且奇数项之积为T奇=(an+1)n+1,偶数项之积为T偶=(an+1)n,所以an+1=.【答案】4.已知数列an满足:a1=1,an+1=且bn=a2n-2,nN*.(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列bn为等比数列,并求其通项公式;(3)求和Tn=a2+a4+a6+a2n.【解析】(1)a2=,a3=-,a4=.(2)当n2时,bn=a2n-2=a(2n-1)+1-2=a2n-1+(2n-1)-2=a2n-2-2(2n-2)+(2n-1)-2=a2(n-1)-2=bn-1,又b1=a2-2=-,数列bn是首项为-,公比为的等比数列,故bn=-()n-1=-()n.(3)a2n=bn+2,Tn=a2+a4+a6+a2n=b1+b2+bn+2n=-+2n=()n+2n-1.(2021年新课标卷)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A.B.-C.D.-【解析】由题知解得a1=.【答案】C