山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)教案资料.doc

山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)

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线性代数（经管类）综合试题一
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==
( B )．
A.－2M B.2M C.－6M D.6M
2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足 ( D )．
A. A≠ O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0
3.设A，B均为n阶方阵，则 ( A)．
A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2
C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．
A. B. C. D.
5.设两个向量组与，则下列说法正确的是( B )．
A.若两向量组等价，则s = t .
B.若两向量组等价，则r()= r()
C.若s = t，则两向量组等价.
D.若r()= r()，则两向量组等价.
6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．
A. 中至少有一个零向量
B. 中至少有两个向量对应分量成比例
C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D. 可由线性表示
7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．
A. r与s未必相等 B. r + s = m
C. r = s D. r + s > m
8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．
A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.
B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.
C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.
D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.
9.设方程组有非零解，则k = ( D)．
A. 2 B. 3 C. -1 D. 1
10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．
A. |A|>0 B.存在n阶方阵C使A=CTC
C.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 ．
12.若方阵A满足A2 = A，且A≠E，则|A|= 0 .
13.若A为3阶方阵，且 ，则|2A|= 4 ．
14.设矩阵的秩为2，则t = -3 ．
15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)= 0 ．
16.设n元齐次线性方程组Ax = o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r个.
17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为 （1,1,2）
18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 1,1,4 .
19.二次型的矩阵A=

20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为 1,2,3
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.求行列式的值
解：=
=xy=xy=x²y²
22.解矩阵方程：.
解：令A=，B=
因为（AE）=→→，所以A=
由AX=B,得X= AB==

23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(－1,－1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.
解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：
（） =→
→→→
所以，r（）=3，极大无关组为，，；=7-3

24.a取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
解：对方程组的增广矩阵施以初等变换：
=→
→
若方程有解，则r()=r（A），故a=5
当a=5时，继续施以初等行变换得：
→,原方程组的同解方程组为：
，x,x为自由未知量，令x=x=0得原方程组的一个特解：与导出组同解的方程组为： x,x为自由未知量，令
分别取，，得到导出组的基础解系：，，所以，方程组的全部解为v=+c+c,其中c，c为任意常数。

25.已知,求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．
解：矩阵A的特征多项式为：
==
所以，A的特征值为:
对于:，求齐次线性方程组的基础解系，,得基础解系：从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： 不全为零。
对于，求齐次线性性方程组（E-A）x=O的基础解系，，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：
因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，，，所以，A相似于对角矩阵，且

26.用配方法将下列二次型化为标准形：

解：
=
=
=
=
令，即
得二次型的标准型为：.

四、证明题（本大题共6分）
27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.
证：因为，所以线性无关，所以向量组是空间的一个基。

线性代数（经管类）综合试题二
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D).
A．A可逆 B．B可逆 C．|A|=|B| D．AB=BA
3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则 ( A).
A． B．
C． D．
4.矩阵的秩为2，则λ = ( B).
A．2 B．1 C．0 D．
5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( D).
A． B．
C． D．
6.向量线性相关,则( C ).
A．k =-4 B．k = 4 C．k =-3 D．k = 3
7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有 ( B ).
A．c1+c2 =1 B．c1= c2 C．c1+ c2 = 0 D．c1= 2c2
8.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有 ( B ).
A．A的行列式等于1 B．A的秩等于n
C．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1
9.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1， 则A-1的特征值为 ( D ).
A．1, 2 B．2, 1, 1 C．, 1 D．, 1, 1
10.二次型是 ( A ).
A．正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.=_______5__．
12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=_____32___．
13.设A=, B =, 则ATB =__________．
14.设A =,则A-1=__________．
15.向量表示为向量组
的线性组合式为__________．
16.如果方程组有非零解, 则k =___-1_______．
17.设向量与正交，则a =____2______．
18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型__________．
19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似，则A2=___E_____．
20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为__________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式的值.
解：原式==
= =

22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B .
解：（AB）=

23.设矩阵，求k的值，使A的秩r(A)分别等于1，2，3.
解：对矩阵A施行初等变换：

当k=1时，，矩阵A的秩r（A）=1；
当k=-2时，，矩阵A的秩r（A）=2；
当k时，，矩阵A的秩r（A）=3.

24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换:

所以，向量组的秩，向量组的一个极大无关组为： 且有.

25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.
解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：

与原方程组同解的方程组为:,其中x,x为自由未知量。
令 分别取 ， 得基础解系：
方程组的通解为：（c，c为任意常数）

26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ.
解：矩阵A的特征多项式为：

得矩阵A的所有特征值为:
对于 ，求方程组的基础解系。
，得基础解系为： ，
将此线性无关的特征向量正交化，得：
，再标准化，得： ，对于解方程组
，方程组的基础解系为 ，将其单位化，得 ，

令
则P是正交矩阵，且PAP=
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量组线性无关，证明：向量组
也线性无关.
证：令
整理得：

因为线性无关，所以
解得:
故线性无关。

线性代数（经管类）综合试题三
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.当( D )成立时，阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
B.行列式中有个元素等于零
C.行列式至少有一个阶子式为零
D.行列式所有阶子式全为零
2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是 ( B ).
A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E
3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( D ).
A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1
C. (AB)T=ATBT D.
4.下列矩阵不是初等矩阵的是 ( B ).
A. B. C. D.
5.设是4维向量组，则 ( D ).

A.线性无关
B.至少有两个向量成比例
C.只有一个向量能由其余向量线性表示
D.至少有两个向量可由其余向量线性表示
6.设A为m×n矩阵，且m0 B. A的每一个元素都大于零
C. D. A的正惯性指数为n
10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ).
A. A与B相似 B. A与B合同
C. A与B等价 D.|A|=|B|
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式 24 .
12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|= 6 .
13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X= .
14.已知向量组的秩为2，则k = -2 .
15.向量的长度= .
16.向量在基下的坐标为 .
17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)= 1 .
18.设是三阶矩阵A的特征值，则a = 1 .
19.若是正定二次型，则满足 .
20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 .
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.
求：(1)矩阵A-2E及|A-2E|；(2).
解：（1）

(2)

22.已知向量组
求：(1)向量组的秩；
(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换:

所以，向量组的秩，
向量组的一个极大无关组为：，且有

23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.
解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：

若方程组有解，则,从而a=1.
当a=1时，原方程组的通解方程组为：
，x，x为自由未知量.

令x=x=0，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0).
导出组的同解方程组为：，x，x为自由未知量.
令，分别取，得导出组的基础解系：(0,1,1,0)，(-4,1,0,1).
所以,方程组的通解为：(0,1,0,0)+c(0,1,1,0)+ c(-4,1,0,1)，其中，c，c为任意常数.

24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.
解:因为
当a=2或a=-6时，向量组线性相关，
当a2且a-6时，向量组线性无关，

25.已知矩阵A=，
(1)求矩阵A的特征值与特征向量；
(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ.
解：矩阵A的特征多项式为：

所以，A的特征值
对于求齐次线性方程组的基础解系，
，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征值为：
对于，求齐次线性方程组的基础解系，
，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征值为：
因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵。

26.设二次型
(1)将二次型化为标准形；
(2)求二次型的秩和正惯性指数.

令。即
得二次型的标准形为：
(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2

四、证明题（本大题共6分）
27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求
证：由(A+E)²=O, 得：A²+2A=-E,从而A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E
所以A可逆，且A=-A-2E

线性代数（经管类）综合试题四
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.三阶行列式，则a = ( ).
A. 2 B. 3 C. D. -3
2.设A，B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).
A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1
C. 若AB= O, 则A=O或B=O D. |AB| = |A| |B|
3.设A，B，AB-BA= ( ).
A. B. C. D.
4.设矩阵的秩为2，则 ( ).
A. Bt = -4 C. t是任意实数 D.以上都不对
5.设向量，则 ( ).
A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D.(1, 0, 5, -6)
6.向量组线性相关,则( ).
A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 2
7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解，则 ( ).
A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C. c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2
8.设m×n矩阵A的秩r(A) = n-3(n>3)，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=o的基础解系为( ).
A. B.
C. D.
9.设三阶矩阵A的特征值为1，1，2，则2A+E的特征值为( ).
A. 3，5 B. 1，2 C.1，1，2 D. 3，3，5
10.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 ( ).
A. B.存在n阶矩阵P，使得A=PTP
C.负惯性指数为 D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. .
12.设A为三阶方阵，且|A|=2，A*是其伴随矩阵，则|2A*| = .
13.设矩阵A，则= .
14.设，则内积= .
15.若向量不能由线性表示，且r()=2，则
r(,)= .
16.设线性方程组有解，则t = .
17.方程组的基础解系含有解向量的个数是 .
18.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|= .
19.设二次型的矩阵,则二次型 .
20.用正交变换将二次型化为标准形为
，则矩阵A的最小特征值为 .
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算n阶行列式.

22.解矩阵方程：.

23.验证是R3的一个基，并求向量在此基下的坐标.

24.设向量组线性无关，令

，
试确定向量组的线性相关性.

25.求线性方程组的基础解系，并表示其通解.

26.求矩阵的特征值和全部特征向量.

四、证明题（本大题共6分）
27.设是三维向量组，证明：线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示.

线性代数（经管类）综合试题五
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.行列式,则k = ( ).
A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -1
2.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).
A.若AB=AC，则B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2
C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C|
3.设A，B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分
必要条件是 ( ).
A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA
4.若，则初等矩阵P= ( ).
A. B.
C. D.
5.设向量,则
( ).
A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8)
6.下列结论正确的是 ( ).
A.若存在一组数k1, k2, …,km, 使得成立，则向量组线性相关.
B.当k1 = k2 =…=km=0时，，则向量组线性无关.
C.若向量线性相关，则线性相关.
D.若向量线性无关，则线性无关.
7. 设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若c1u1+c2u2是其导出组Ax = o的解，则 ( ).
A. c1+ c2 = 0 B. c1= c2 C. c1= 2c2 D. c1+c2 =1
8.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是 ( ).
A. A的行向量组线性无关 B. A的行向量组线性相关
C. A的列向量组线性无关 D. A的列向量组线性相关
9.设，则2的特征值为 ( ).
A. B.
C. D.
10. 设二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则二次型的规范形为 ( ).
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式 .
12.设A为三阶方阵，|A|=2，则 |2A-1| = .
13.设,则2A+B= .
14.设，则(AB)-1= .
15.向量的单位化向量为 .
16.设向量组的两个极大无关组分别是和，r和t的关系是 .
17.设向量组的秩为2，则t = .
18.设向量与正交，则k = .
19.已知二次型，写出二次型f的矩阵A= .
20.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0，则A的秩r(A)= .
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式.

22.已知矩阵A=，且A+X=XA，求X.

23.设A=，已知r(A)=2，求a, b的值.

24.已知线性方程组，(1)问常数a1，a2，a3满足什么条件时，方程组有解？(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(用它的一个特解和导出组的基础解系表示).

25.设实对称矩阵A=，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ.
其中，Λ是对角矩阵.

26.设二次型是正定二次型，求a的取值范围.

四、证明题（本大题共6分）
27. 设向量组线性无关，可由线性表示，而不能由线性表示.证明：向量组线性无关.

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