江苏省泰州市届高三一模考试数学试题doc资料.doc

江苏省泰州市2016届高三一模考试数学试题

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江苏省泰州市2016届高三一模考试
数学试题
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜
审题人：吴卫东 唐咸胜
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合，集合，则 ▲ ．
（第2题）
2．如图，在复平面内，点对应的复数为，若（为虚数单位），
则 ▲ ．
3．在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为

（第5题）
▲ ．
4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方
法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100
人，那么 ▲ ．
5．执行如图所示的伪代码，当输入的值分别为时，最后输出的
的值为 ▲ ．

6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为 ▲ ．
7．已知直线与圆相交于两点，若，
则 ▲ ．
8．若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．
9．（第9题）
如图长方体中，为的中点，三棱锥
的体积为，四棱锥的体积为，则
的值为 ▲ ．
10．已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足，
则的取值范围是 ▲ ．
11．设是上的奇函数，当时，，记，则数列
的前项和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点
，则的取值范围是 ▲ ．
13．若正实数满足，则的最大值为 ▲ ．
14．已知函数（其中为常数，），若实数满足：①，②，③，则的值为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
在中，角的对边分别为，向量．
（1）若，求证：；
（2）若,，求的值．
16．（本题满分14分）
如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：．

17．（本题满分14分）
一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．设弧度，小球从到所需时间为．
（1）试将表示为的函数，并写出定义域；
（2）求时间最短时的值．

18．（本题满分16分）
已知数列满足，其中是数列的前项和．
（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
19．（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．
（1）求的值；
（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；
（3）求证：直线必过点．

20．（本题满分16分）
已知函数，，．
（1） 若，求证：
（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）在上恰有两个零点；
（2） 若，记的两个零点为，求证：．

数学试题（附加题）
(考试时间：120分钟 总分：160分)
命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜
审题人：吴卫东 唐咸胜
21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分.
A．（几何证明选讲，本题满分10分）
如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.

B．（矩阵与变换，本题满分10分）
已知矩阵的一个特征值为,求.

C．（坐标系与参数方程，本题满分10分）
在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆
的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.

D．（不等式选讲，本题满分10分）
已知正实数满足，求证：.
22．【必做题】（本题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4．
（1）设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB1—B的余弦值．

23. 【必做题】（本题满分10分）
已知，若存在互不相等的正整数…，使得…同时小于，则记为满足条件的的最大值．
（１） 求的值；
（２） 对于给定的正整数，
（ⅰ）当时，求的解析式；
（ⅱ）当时，求的解析式．

参考答案
一、填空题
1．； 2．； 3．； 4．； 5．；
6．； 7．； 8．； 9．； 10．；
11．； 12．； 13． ； 14．.
二、解答题
15. 证明：（1）因为，
所以，所以. ……………7分
（2）因为，所以，即，
因为，所以，又，所以，则，…12分
所以. ……………14分
16. 证明（1）∵点，分别为，的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴直线平面． ……………6分
（２）∵，
∴，，
又∵，在平面内，
∴平面， ……………8分
∵平面，∴，
∵，为的中点，∴，
∵，，，在平面内，
∴平面， ……………12分
∵平面，∴． ……………14分

17. 解：（1）过作于，则，
，，，
所以，．……7分
（写错定义域扣1分）
（2），
，…………9分
记，，

-
0
+

故当时，时间最短． …………14分
18. 解：（1）因为，
， …………2分
所以． …………4分
（2）若，则，∴，
两式相减得，即，
当时，，
两式相减得，即， …………8分
又由，得，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故数列的通项公式是． …………10分
（3）由（2）得 ，
对于给定的，若存在，使得，
只需，
即，即，则， …………12分
取，则，
∴对数列中的任意一项，都存在和使得． …………16分
19．解：（1）设，则，
所以． …………4分
（2）联立得，
解得，
联立得，
解得， …………8分
所以，，
所以，故存在常数，使得． …………10分
（3）当直线与轴垂直时，，
则，所以直线必过点．
当直线与轴不垂直时，直线方程为：，
联立，解得，
所以，故直线必过点． …………16 分
（不考虑直线与轴垂直情形扣1分）
20. 证：（1）因为，所以，
由得的递减区间为， …………2 分
当时，，
所以在的递减区间上也递减． …………4 分
（2）解1
因为，由得，
令，则，
因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，则时，，单调递减；时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则， …………7 分
由得，
所以，又因为对称轴为所以，
所以，所以，
又，
设中的较大数为，则，
故在上恰有两个零点． …………10 分
解2：，
因为，由得，
令，
若在上恰有两个零点，则在上恰有两个零点，
当时， 由得，此时在上只有一个零点，不合题意；
当时，由得， …………7 分
令，
则，
当时，单调递增，且由值域知
值域为；当时，单调递增，且，由值域知值域为；
因为，所以而与有两个交点，所以在上恰有两个零点． …………10 分
（3）解1：由（2）知，对于在上恰有两个零点，
不妨设，又因为，，所以，……12 分

又因为，，所以，
所以． …………16 分
解2：由（2）知，
因为时，单调递增，，，
所以， …………12 分
当时，单调递增，，，
所以，
所以． …………16 分

附加题参考答案
21.A．证明：连结，因为为圆的切线，
所以,
又是公共角，所以～， ……………5分
所以 ,
因为点是劣弧的中点,所以,即. ……………10分
21.B. 解：代入，得
矩阵 ……………5分
∴ ……………10分
21.C. 解：直线：，
椭圆:， …………………………5分
准线：
由得， …………………………10分
21.D.证明：因为正实数满足，
所以，即， …………………………5分
所以
因此， ……………………10分
22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得　　　……………１分
以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则Ａ(3,0,0)，(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由得，而，
　　根据解得，或　　……………５分
（２），可取平面的一个法向量为；
…………………………７分
而平面的一个法向量为，并且与二面角D—CB1—B相等，
　　所以二面角D—CB1—B的余弦值为．　………１０分
（第（１）题中少一解扣１分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）
23. 解：（1）由题意，取，，满足题意，
若，则必有，不满足题意，
综上所述：的最大值为，即．　　　　　　　　 　………………4分
（２）由题意，当时，
设…，…，
显然，时，满足，
∴从集合中选出的至多个，
时，，
∴从集合中选出的必不相邻，
又∵从集合中选出的至多个，
∴从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间，
∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　………………6分
（ⅰ）当时，
取一串数为：…，
或写成，（），
此时，(),，满足题意，
∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分
（ⅱ）当时，
从中选出的个：…，考虑数的两侧的空位，填入集合的两个数，不妨设，则，与题意不符，
∴，
取一串数为：…
或写成，（），
此时，（），，满足题意，
∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分
（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）

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