2018届杨浦区高考数学二模有答案教案资料.doc

2018届杨浦区高考数学二模有答案

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杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷 2018.4.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．函数的零点是 ．
2．计算： ．
3．若的二项展开式中项的系数是，则 ．
4．掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．
5．若、满足，则目标函数的最大值为 ．
6．若复数满足，则的最大值是 ．
7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，
则该圆锥的体积是 ．
8．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则 ．
9．若，则的值为 ．
10．若为等比数列，，且，则的最小值为 ．
11．在中，角,,所对的边分别为,,，，．
若为钝角，，则的面积为 ．
12．已知非零向量、不共线，设，定义点集. 若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）
13．已知函数的图象如图所示，则的值为 （ ）

14．设是非空集合，定义：=.
已知， ，则等于 （ ）
． ．
． ．
15．已知,则“”是“直线
与”平行的 （ ）
充分非必要条件 　　　　 　 必要非充分条件
充要条件 　　　　　 既非充分也非必要条件
16．已知长方体的表面积为，棱长的总和为. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大
值为 （ ）

三、解答题
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润 (单位：元）与营运天数满足 .
（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；
（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点的位置，并证明你的结论.

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知数列，其前项和为，满足，，其中，，
，.
(1) 若，，（），求数列的前项和；
(2) 若，且，求证：数列是等差数列.

20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）
已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两
个交点、，线段的中点为．
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的范围；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）若过点，射线与交于点，四边形能否为平行四边形？
若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明：是函数；
（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.

杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷答案 2018.4.10

一、填空题
1. ；2． ； 3．4 ； 4. ； 5．3 ； 6. 2； 7． ；
8．4； 9． ；10．4 ； 11． ． ； 12.
二、选择题
13． C ； 14 . A ； 15． B ; 16. D ;

三、 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
【解】
（1） 要使营运累计收入高于800元，
令， …………………………………2分
解得. …………………………………5分
所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分
（2） …………………………………9分

当且仅当时等号成立，解得 …………………………12分
所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
【解】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0），
B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）
（1）证明：，………2分
………4分
所以DA1⊥ED1. ……………6分
另解：，所以 ……………2分
又，所以. ……………………………4分
所以 ……………………………6分
（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系…………7分
所以、、、，设，则 ………8分
设平面CED1的法向量为，由可得，
所以，因此平面CED1的一个法向量为 ………10分
由直线与平面所成的角是45，可得 ……11分
可得，解得 ………13分
由于AB=1，所以直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处. …14分
19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
【解】（1），所以.两式相减得.
即 ………2分
所以，即， ………3分
又，所以，得 ………4分
因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为 …7分
（2）当n=2时，，所以.又
可以解得， ………9分
所以，，两式相减得
即.
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当n=1或2时，，，猜想成立；
②假设当（）时， 成立
则当时，猜想成立.
由①、②可知，对任意正整数n，. ………13分
所以为常数，所以数列是等差数列. ………14分

另解：若，由，得，
　　又，解得． ………9分
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以 ………11分
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，即数列是等差数列.………14分

20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）

【解】
（1）椭圆，两个焦点、，设
所以
由于，所以， …3分
由椭圆性质可知，所以 ……………5分
（2）设直线（），，，，
所以为方程的两根，化简得，
所以，. ……………8分
，所以直线的斜率与的斜率的乘积等于 -9为定值. …………10分
（3）因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．
设 设直线（），即.
由（2）的结论可知，代入椭圆方程得…12分
由（2）的过程得中点， ……………14分
若四边形为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，
得，解得
所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形． ……………16分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
【解】
（1）是函数 . ……1分
理由如下：的定义域为，
只需证明存在实数，使得对任意恒成立.
由，得，即.
所以对任意恒成立. 即
从而存在，使对任意恒成立.
所以是函数. …………4分
（2）记的定义域为，只需证明存在实数，使得当且时，
恒成立，即恒成立.
所以， ……5分
化简得，.
所以,.因为，可得，,
即存在实数，满足条件，从而是函数. …………10分
（3）函数的图象关于直线（为常数）对称，
所以 （1）， ……………12分
又因为 （2）， 所以当时，

由（1 ）
由（2） （3）
所以
（取由（3）得）
再利用（3）式，.
所以为周期函数，其一个周期为. ……………15分
当时，即，又，
所以为常数.
所以函数为常数函数，
，是一个周期函数. ……………17分
综上，函数为周期函数。 ……………18分

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