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上海市长宁(嘉定)区2019届高三二模数学试卷
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上海市长宁（嘉定）区2019届高三二模数学试卷
2019.04
一、填空题（本大题共12题，1~6每题4分，7~12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则 ；
2. 已知复数满足（是虚数单位），则 ；
3. 已知线性方程组的增广矩阵为，解为，则 ；
4. 在的二项展开式中，项的系数为 ；
5. 已知圆锥的主视图所图所示，则该圆锥的侧面积是 ；
6. 已知实数、满足，则的最大值为 ；
7. 设函数（
2、其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为 ；
8. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务活动，则选出2人中至少有1名女同学的概率为 ；（结果用数值表示）
9. 已知直线（为参数）与抛物线相交于、两点，若线段中点的坐标为，则线段的长为 ；
10. 在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为 ；
11. 已知有穷数列共有项，记数列所有项的和为，第二及以后所有项的和为，…，第（）及以后所有项的和为，若是首项为1公差为2的等差数列的前项和，则当时，
3、 ；
12. 已知定义在上的奇函数满足：，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围为 ；
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要条件
14. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与
4、2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较。
根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A. 2015年第三季度环比有所提高 B. 2016年第一季度同比有所提高
C. 2017年第三季度同比有所提高 D. 2018年第一季度环比有所提高
15. 已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间，过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D.
5、 抛物线的一部分
16. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，“类三角形”一定满足（ ）
A. 有一个内角为 B. 有一个内角为
C. 有一个内角为 D. 有一个内角为
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知正四棱柱的底面边长为1，与底面所成角为。
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小。
18. 已知函数。
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期，及函数在上的递减区间。
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19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（毫米）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（1）解释的实际意义，并求的表达式；
（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用最小？并计算与不建隔热层比较，业主省多少钱？
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点。
（1）求的周长；
（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标；
（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点，求的面积的最大值。
21. 记无穷数列的前项和中最大值为，最小值为，令。
（1）若，写出、、、的值；
（2）设，若，求的值，及时数列的前项和；
（3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”。
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