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力学专题 液面升降问题

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液面升降问题

考查要点
液面升降问题是中考压轴题的考查热点，近三年(2014-2016年)的中考压轴题都是考查这方面的问题，以液体的压强和浮力为载体，考查学生对液体压强、浮力知识的综合运用能力。解题思路
利用量筒的原理
1.基本思路：
【例1】 如图17-1所示，容器内分别装有水和盐水，在液面上浮着一块冰，问：(1)冰在水中熔化后，水面如何变化?(2)冰在盐水中熔化后，液面如何变化?

(a) (b)
图17-1
【思路点拨】容器中的液面高度变化是由于容器中物体排开液体的体积与液体体积之和发生变化引起的。根据，因容器内原来的水的体积不变，关键是比较两个体积，一个是冰熔化前，排开水的体积，一个是冰熔化成水后，水的体积。求出这两个体积，再进行比较，就可得出结论。
【解】(1)如图(a)所示，冰在水中，熔化前处于漂浮状态。
来&源：＝
＝
＝①
冰熔化成水后，质量不变：＝
求得：＝＝②
比较①和②，＝
也就是冰熔化后体积变小了，恰好占据了原来冰熔化前在水中的体积。
所以，冰在水中熔化后液面不变
(2)冰在盐水中：冰熔化前处于漂浮，如图(b)，则
＝
＝
＝③
冰熔化成水后，质量不变，推导与问题(1)相同。
＝④
比较③和④，因为＜
所以＞
也就是冰熔化后占据的体积要大于原来冰熔化前在盐水中的体积。
所以，冰在盐水中熔化后液面上升了。
【答案】(1)冰在水中熔化后液面不变。(2)冰在盐水中熔化后液面上升。
【变式练习】冰放在密度小于冰的液体中，静止后处于什么状态，熔化后，液面又如何变化?

【例2】 如图17-2所示，底面积为的圆柱形容器内盛有适量的水，另一底面积为的圆柱体A有部分体积浸在水中，当圆柱体A相对于容器下降高度为h时(水没有溢出，圆柱体A也未全部没入水中)，求：容器中液体高度的变化量？

图17-2
【思路点拨】解法一：画出情境图如图17-3所示，找出体积之间的关系

资*源%库图17-3

即：①
资*源%库 Δh②
②-①可得
Δh
因为
所以Δh
h
Δh=。
解法二：如图17-4，圆柱体下降h后，体积为的水被挤走，

图17-4
水被挤到原水面上圆柱体周围的区域，体积为Δh
所以h
解得 Δh=。
【答案】
【例3】 如图17-5(a)所示，在一个较大的容器中盛有水，水中放有一个木块，木块上面放有物体A，此时木块漂浮；如果将A从木块上拿下，并放入水中，当木块和A都静止时(水未溢出)，下面说法正确的是( )

(a) (b)
图17-5
A.当A的密度小于水的密度时，容器中水面上升
B.当A的密度大于水的密度时，容器中水面下降
C.当A的密度等于水的密度时，容器中水面下降
D.当A的密度大于水的密度时，将A拿下后悬挂在木块下面，如图17-5(b)所示，容器中水面不变
【思路点拨】
解法一：A在木块上面，A和木块漂浮，则
＝＋
＝＝①
A选项：A从木块上拿下后，若＜，则A和木块均漂浮在水面，A和木块共同排开水的体积为
＋＝＋＝②
比较②和①，＝
所以A选项中，容器中水面不变。
C选项：当＝时，将A从木块上拿下放入水中，A悬浮在水中，容器中水面也不变
B选项：当＞时，A放入水中，A沉底，木块和A共同排开水的体积为：
＋＝＋＝＋③
比较③和①，
因为＞，
所以
水面下降。
D选项中：A放在木块上和悬挂在木块下面，两次比较，A和木块均漂浮，＝＋不变，不变，前后两次水面无变化。
解法二：分析容器底受到的压力的变化，就是分析容器上方物体所受支持力的变化。把物体A、木块和水看成“整体”，作出受力分析图，列出力的平衡式。
物体A放在木块上，漂浮在水面上时，水受到容器底的支持力
F＝＋＋
物体A从木块上拿下放入水中后
A选项：若＜，则A和木块均漂浮在水面
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为=F，水对容器底的压力不变，容器底受到水的压强ｐ不变，深度ｈ不变，即容器中水面高度不变。
B选项：若＞，A放入水中后，A沉底，物体A受到容器底的支持力，木块仍漂浮
水受到容器底的支持力
＝＋＋
因为高度不变。
【答案】BD
2.解题方法
(1)画出情境图，找出体积之间的关系。
(2)作出受力分析图，列出力的平衡式。
(3)结合已知条件利用公式列出方程或方程组，求解。
专题巩固
1.在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水中放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上。当一半冰熔化之后，发现容器里的水面上升的高度为h，当剩余的冰全部熔化之后，水面将又会上升( )

图17-6
A.h B.h C.h D.h
【答案】C
【解析】漂浮的物体质量是m，烧杯里的液体的质量是M，烧杯底面积为S，液体的密度是，则可以得出，图中液面下烧杯内的体积V=Sh=

推导过程如下：由ρ=得，烧杯内液体的体积=
由阿基米德原理，＝G，G=mg得
==
=+=。
设浓盐水的体积为，冰未熔化时排开盐水的体积与盐水的体积之和为，冰块全部熔化成水后的体积为，冰块和盐水的质量均为M
则在冰没有熔化时，=
在冰熔化一半时，
===+
在冰完全熔化后，
==
=Sh=-
=Sh′=-
所以Sh=2Sh′，h′=h。
2.如图17-7所示，水平桌面上放有一圆柱形容器，容器内有一个装有铝块的平底塑料盒漂浮在水面上，塑料盒底始终与容器底平行，且塑料盒的底面积等于圆柱形容器底面积的一半， 将铝块取出后，塑料盒盒底距离容器底的高度变化量为Δh，容器中水面高度变化量为Δh′，推导Δh与Δh′之间的数量关系。

图17-7
【答案】 Δh=Δh′
3.如图17-8甲所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的水面上，试管内水面与容器底部的距离为h，试管壁粗细均匀、厚度不计。现将一物块完全浸没在该试管内的水中，发现试管内水面与容器底部的距离恰好仍为h，如图乙所示，若试管横截面积与容器横截面积之比为1∶5，则下列说法正确的是( )

甲 乙
图17-8
A.放入的物块密度为
B.放入的物块密度为
C.放入的物块密度为
D.小试管内水面变化与容器内水面变化的高度相等
【答案】B
【解析】设试管底面积为，容器底面积，物块浸没在该试管内的水中后，试管中水面上升的高度是，试管底部再下沉的深度，因试管下沉容器液面上升的高度，试管内物块体积，
，
试管增加的浮力，
容器底部增加的压力，
因为试管内放入物块后，试管处于漂浮状态，所以放入物块的重量等于试管增加的浮力等于容器底部增加的压力
,
依题意有，代入，得，
因试管内水面与容器底部的距离都为h，
所以，
=

则 。
故选B。
4.器材：底面积为S的圆柱形玻璃筒、小烧杯、适量的水、刻度尺。
请你利用所给的器材，测量一块铁矿石(可放入小烧杯中)的密度。要求：(1)写出实验步骤、需要测量的物理量；(2)写出用已知量和测量量表示的铁矿石密度的表达式。
【答案】实验步骤：
①在圆柱形玻璃筒内放入适量水，将空的小烧杯放在水面上漂浮，用刻度尺测出玻璃筒中的水面高度。
②再将铁矿石放入烧杯中，漂浮在水面上，用刻度尺测出玻璃筒中的水面高度。
③将铁矿石从烧杯中取出，放入玻璃筒内的水中沉底，空的小烧杯仍漂浮在水面上，用刻度尺测出玻璃筒中的水面高度。
表达式ρ=。
5.如图17-9所示，将底面半径为2R的圆柱形薄壁容器(不计容器重)放在水平桌面上，把高为h、密度为ρ、半径为R的实心圆柱体木块竖直放在容器中，然后向容器内注水，则若使木块竖直漂浮，向容器中注入水的质量至少为多少？

图17-9
【答案】ρh
6.如图17-10所示，正方体木块漂浮在水面上，其总体积的露出水面，不可伸长的细绳处于松弛状态。已知绳子能承受的最大拉力为5 N，木块棱长为0.1 m，容器底面积为0.02 ，容器底部有一阀门K。求：

图17-10
(1)木块的密度；
(2)打开阀门使水缓慢流出，当细绳断裂前一瞬间关闭阀门，此时木块排开水的体积为多少？
(3)在细绳断开后木块再次漂浮时，容器底受到水的压强与断绳前的瞬间相比，容器底受到水的压强怎样变化？改变了多少？(g取10 N/kg)
【解】(1)因为木块漂浮,
所以,
因为g,g,
所以g,
因为木块总体积的 露出水面,
所以=,
== ；
(2)当细绳断裂时,,
设此时木块排开水的体积为,则：
g,
即： ×10 N/kg+5 ×10 N/kg
解得： ；
= = ,
Δh===0.025 m,
×10 N/kg×0.025 m=250 Pa,
即容器底受到水的压强增大了250 Pa。
7.如图17-11甲所示，圆柱形平底容器置于水平桌面上，其底面积为500 。在容器内放入一个底面积为200 、高为20 cm的圆柱形物块，物块底部的中心通过一段细线与容器底部相连。向容器内缓慢注入某种液体直至将其注满，如图乙所示。已知在注入液体的过程中细线对物块的拉力F随液体深度h的变化关系图象如图丙所示。若将细线剪断，当物块静止时，液体对容器底部的压强为多少？(g取10 N/kg)

甲 乙 丙
图17-11
【答案】4 640 【解析】圆柱形物块的体积V=200 ×20 cm=4 000 =0.004 ；
由丙图象可以看出，液体深度由30 cm到35 cm，液面变化了5 cm，拉力变化了8 N，则浮力变化了8 N，
，
所以==
物块浸没时受到的浮力为
×10 N/kg×0.004 =32 N；
物块的重力为-F=32 N-8 N=24 N；
将细线剪断，当物块静止时，物体漂浮，受到的浮力=G=24 N；
此时排开液体的体积
==
排开水的体积减小了
=0.004 ；
水的深度减小Δh===0.02 m
水的深度为h=0.6 m-0.02 m=0.58 m；
当物块静止时，液体对容器底部的压强为 ×10 N/kg×0.58 m=4 640 Pa。
8.(2016和平区二模·25题·7分)如图17-12甲所示，底面积为S的圆柱形薄壁容器内装有密度为ρ的液体。密度为、横截面积为、高度为的圆柱形物块由一段非弹性细线与天花板相连，且部分浸入液体中，细线刚好被拉直。打开容器底部的抽液机匀速向外排液，若细线能承受的最大拉力为T，当细线上拉力为T时，停止排液。请解答下列问题：

甲 乙
图17-12
(1)细线刚好被拉直，物块浸入液体中的深度；
(2)推导出细线被拉断前，细线对木块拉力F与抽液机排出的液体质量m之间的关系式；
(3)在图乙中，定性画出物块所受浮力与抽液机排出的液体质量m变化关系的图象。
【解】(1)细线刚好被拉直时物块漂浮(受力分析如图17-13所示)

图17-13
=G
，h=。
(2)细线被拉断前，受力分析如图17-14所示

图17-14
+F=G
Δh
抽液机排出的液体质量Δh
=。
(3)如图17-15所示。

图17-15
真题演练
1.(2003天津中考·14题·3分)将一个实心铁球A和一个密度小于水的木球B放在一个小盒中，再将小盒放在水槽中，漂浮在水面上。那么下列说法中正确的是( )
A.只将A从盒中拿出放到水槽的水中，水槽中水面高度不变
B.只将A从盒中拿出放到水槽的水中，水槽中水面高度下降
C.只将B从盒中拿出放到水槽的水中，水槽中水面高度下降
D.将两个小球都从盒中拿出放到水槽的水中，水槽中水面高度下降
【答案】BD
【解析】当2个球放在小盒里能漂浮水面上，那么它们受到的浮力等于它们的总重力，排开水的体积为V。当把A球拿出放入水里，此时，A球必然下沉，所受浮力小于重力，根据阿基米德原理，排开水的体积变少，所以水位下降。若把B球拿出放入水里，由于B球的密度小于水，最后将漂浮在水面上，所以浮力仍然等于重力，排开水的体积不变。故选BD。

图17-16
资*源%库2.(2000天津中考·33题·7分)在一圆柱形容器中盛有水，水面漂浮着一个小容器。当将一个实心小塑料球放入小容器中后，大容器中的水面上升的高度是，如图17-16所示。若把这个塑料球从小容器中拿出投入大容器的水中，液面降低了，求这个塑料小球的密度。
【解】设大容器的底面积为S，塑料球体积为，密度为，当把塑料球放入小容器中时，增加的排开水的体积为，则有：
①
②
当把塑料球从小容器中拿出放入水中后，塑料球排开水的体积为，则：
③
由①③可得
=
化简可得：
④
由②④可得
可得：=。
3.(2002天津中考·34题·7分)如图17-17所示，底面积为的圆柱形容器内盛有适量的水，另一底面积为的圆柱体A有部分体积浸在水中，当圆柱体A相对于容器下降高度为h时(水没有溢出，圆柱体A也未全部没入水中)，求圆柱体A所受水的浮力的增加量为多少?

图17-17
【解】圆柱体A原来排开水的体积为，则′，
圆柱体下降h后排开水的体积为 ，则

图17-18
(h+Δh)
排开水的体积的变化：
(h+Δh)，
两液面的变化：
Δh==
解得：
资*源%库Δh=h
·Δh=h
h。
4.(2015天津中考·25题·6分)底面积为的圆柱形薄壁容器内装有密度为的液体，横截面积为的圆柱形木块由一段弹性细线与容器底部相连，且部分浸入液体中，此时细线刚好伸直，如图17-19所示。已知细线所能承受的最大拉力为T，现往容器中再缓慢注入密度为的液体，直到细线刚好被拉断为止。请解答下列问题：

图17-19
(1)画出细线刚好伸直时，木块在竖直方向上的受力示意图；
(2)导出细线未拉断前，细线对木块拉力F与注入的液体质量m之间的关系式；
(3)求出细线刚好被拉断时与细线断后容器中液面恢复稳定时，容器底部所受液体压强的变化量。
【答案】(1)如图17-20所示。

图17-20
Z (2)注入液体的质量为m时，细线对木块的拉力为F
＝

F=m。
(3)当细线刚好被拉断时
＝G+T
液面恢复稳定后
＝G
=T
=T
Δp=。
5.(2016天津中考·25题·6分)现有一质地均匀密度为的实心圆柱体，底面积为、高为，将其中间挖去底面积为的小圆柱体，使其成为空心管，如图17-21甲所示。先用硬塑料片将空心管底端管口密封(硬塑料片的体积和质量均不计)。再将其底端向下竖直放在底面积为S的柱形平底容器底部，如图乙所示。然后沿容器内壁缓慢注入密度为ρ的液体，在注入液体的过程中空心管始终保持竖直状态。
(1)当注入一定量的液体时，空心管对容器底的压力刚好为零，且空心管尚有部分露在液面外，求此时容器中液体的深度。
(2)去掉塑料片后，空心管仍竖直立在容器底部，管外液体可以进入管内，继续向容器中注入该液体。若使空心管对容器底的压力最小，注入液体的总质量最少是多少？

甲 乙
图17-21
【解】(1)设液体深度为，由题意可知此时空心管刚好漂浮

=。
(2)若≥ρ，设液体深度为、质量为，由题意可知，若空心管对容器底的压力最小，此时空心管所受浮力最大，其应刚好被浸没，

=
若<ρ，设液体深度为、质量为，由题意可知此时空心管刚好漂浮
，=
=。

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