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求展开式系数的类型及最大最小项

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求展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。
一 、型
例1．的展开式中项的系数是（ ）
（A）840 （B）－840 （C）210 （D）－210
解析：在通项公式中令=4，即得的展开式中项的系数为=840,故选A。
例2．展开式中的系数为 。
解析：通项公式 ，由题意得，则，故所求的系数为。
评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。
二 、型
例3．的展开式中整理后的常数项等于 .
解析；的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=－32, 的通项公式为,令，则,这时得的展开式中的常数项为=70，故的展开式中常数项等于。
例4．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
(A) (B) 5 (C) (D) 10
解析：中的系数, 中的系数为,故的展开式中的系数为,故选D 。
评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。
三 、型

例5．的展开式中项的系数是
解析：的展开式中、的系数分别为和，故的展开式中项的系数为+=1008。
例6．的展开式中的系数是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D）
略解：的展开式中、的系数分别为和,故 展开式中的系数为,故选B。
评注：求型如的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。
四 、型
例7．的展开式中整理后的常数项为 .
解法一：=，通项公式, 的通项公式为,令，则，可得或或。
当时，得展开式中项为；
当时,，得展开式中项为；
当时，得展开式中项为。
综上，的展开式中整理后的常数项为。
解法二：===，对于二项式中，，要得到常数项需，即。所以，常数项为。
解法三：是5个三项式相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得；从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得=。
综上，的展开式中整理后的常数项为。
评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。
五 、 型
例8．在的展开式中，项的系数是　　　　。（用数字作答）
解析：由题意得项的系数为。
例9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121
解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8=
中的系数为，中的系数为－,－126+5= －121,故选D。
评注：例8的解法是先求出各展开式中项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x)，公比为(1－x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求的展开式中某特定项系数的两种常规方法。
六 、求展开式中若干项系数的和或差
例10．若，
则。(用数字作答)
解析：在中，令，则，
令，则
故
=2003+。
例11．，则的值为（ ）
(A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2
解析：在中，
令，可得，
令，可得
所以，=
===1,故选A。
评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。
二项式中“最大项、最小项”的求解策略

二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决．在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同．
１．二项式系数最大项问题
例１　已知的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．
分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件．先确定的值，再根据二项式系数的性质求解．
解：的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数分别为．
由题意得，即．∴＝７或＝14．
当=7时，展开式中二项式系数最大的项为和，
∴，．
当＝14时，展开式中二项式系数最大的项为，∴．
评注：求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时中间一项的二项式系数最大．
２．二项展开式中系数最大项问题
例２　已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．
解：末三项的二项式系数分别为，
由题设，得，即．
∴，　∴舍去）．
∵，
设项，项和的系数分别为，和，
则．
设最大，则　可知＝11或=12．
∴展开式中系数最大的项是．
例３　求展开式中系数最大的项．
解：展开式共有８项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号内的两项中后项系数的绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需比较和两项系数大小即可．
，所以系数最大的项是第五项，．
评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化．
３．二项展开式中指定项系数最大（小）项问题
例4　已知的展开式中含项的系数为11，求展开式中项系数的最小值．
解：∵＝，
∴，∴
∴＝
∵，∴＝3时，上式有最小值22．即展开式中项系数的最小值是22.
评注：对于此类问题，可利用二项式定理展开，求出项的系数，再将问题转化为二次函数知识进行求解．
４．展开式中最大项（数值）问题
例５　设，试问展开式中第几项最大？
解：设第＋１项为且最大，则有
．
∴展开式中第30项最大．
评注：此类问题同第二类问题类似，常设出它的最大项，列不等式组，再确定该项．

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