四年级上册51平行与垂直.docx

平行四边形和梯形
第 1 节 平行与垂直
【知识梳理】
1. 平行与垂直
（1）平行
①.平行的含义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。如图：

[提示：平行是两条直线的位置关系，所以提到平行时，不能孤立地说某条直线是平行线，至少要有两条直线才成立。]
②.表示方法：平行可以用符号“∥”表示。a与b相互平行，记作a∥b，读作a平行与b。
（2）垂直
①.垂直的含义：两条直线相交成直角，就是说这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。如图：（互相垂直的两条直线相交成直角，与怎样摆放无关）

[提示：垂直是两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直是相互的，所以不能独立地说哪条直线是垂线。]
②.表示方法：垂直可以用符号“⊥”表示。如图中a与b相互垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。
（3）归纳总结：
①.同一个平面内的两条直线的位置关系
不相交——平行
相交——垂直或不垂直
②.平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
③.垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
（4）拓展提高：
①.阐释“同一平面内”：“同一平面内”是确定两条直线是不是平行关系的前提，如果不在同一个平面内，那么有些直线虽然不相交，但也不能称为互相平行。

图1 图2
图1：a与b在同一个平面内，而且不相交，就说a与b相互平行。
图2：a与b不在同一个平面内，所以不能称a与b相互平行。
②.把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，这两根小棒会有什么关系？

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。即如果a∥c，b∥c，则a∥b。
③.把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，这两根小棒会有什么关系？

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。即如果a⊥c，b⊥c，则a∥b。
2. 垂线的画法及应用
（1）过直线上一点画已知直线的垂线

①.方法一：用三角尺画垂线

②.用量角器画垂线

（2）过直线外一点画已知直线的垂线

同过直线上一点画已知直线的垂线的方法相同。
（3）归纳总结：
①.在画互相垂直的两条直线时，可以借助三角尺或量角器来画。
②．在画已知直线的垂线时，可以借用三角尺来画，但在移动三角尺时，必须保证三角尺始终与已知直线重合，不能错位。
（4）点到直线的距离
①.点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。如图：

②.归纳总结
借助三角尺过直线上(或直线外)一点画已知直线的垂线的方法：(1)重合；(2)平移；(3)画垂线；(4)标垂足。点到直线的距离即是点到直线的垂直线段的长度。
4. 平行线的画法及应用
（1）利用直尺和三角尺画平行线

（2）过一点画已知直线的平行线



重合　　　　 紧靠　　　　 平移 画线

（3）可以利用画平行线的方法检验两条直线是否平行
①把三角尺的一条直角边与其中一条直线重合。
②用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，然后平移三角尺。
③如果三角尺的直角边能与另一条直线重合，则两条直线平行，反之，不平行。

（4）平行线间的距离
在平行线间画几条与平行线垂直的线段，并量出线段的长度。

（5）长方形的画法
画一个长3厘米、宽2厘米的长方形
①.画法一：
②.画法二：
③.归纳总结
画平行线必须借助直尺和三角尺来完成，才能保证作图的准确。平行线间的距离处处相等。
【诊断自测】
1. 看一看，填一填

（1）图中a与b是在同一平面内不（ ）的
两条直线，叫做（ ），也可以说这两条
直线（ ），记作（ ），读作（ ）。
（2）图中，直线a与b相交成（ ）角，就说
这两条直线（ ），其中一条直线叫做另
一条直线的（ ）线，这两条直线的交点叫做（ ）。直线a与b相互垂直，记作（ ），读作（ ）。
2. 分别画过点A的垂线

3. 图中从点A引出的五条线段分别是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ），其中最短的一条线段是（ ）

4. 画一个长6厘米、宽3厘米的长方形

【考点突破】
类型一：熟练掌握平行与垂直的概念
例1.判断
（1）不相交的两条直线叫做平行线 （ ）
（2）正方形的两条对边互相平行 （ ）
（3）长方形的两条邻边互相平行 （ ）
（4）两条直线互相垂直，则所成的四个角一定都是直角 （ ）
答案：× √ × √
解析：（1）一定要强调是在同一平面内。（2）正方形的两条对边相互平行。3）长方形的两条邻边相互垂直。（4）一定是四个直角
类型二：过已知点画已知直线的垂线和平行线
例2.按照要求画图
过点A画直线L的垂线和平行线

答案：

解析：严格按照尺规进行作图，画垂直时要标注垂足号。
类型三：画长方形与正方形
例3.（1）画一个长5厘米，宽2厘米的长方形

（2）画一个边长是3厘米的正方形。

答案：

解析：严格按照画图方法进行作图
类型四：运用分析法解决画图问题
例4.用画垂线的方法画出两条平行线间最大的正方形。

答案：

解析：因为正方形对边平行，邻边垂直，四条边都相等，所以要满足“在平行线间画最大的正方形”这一条件，正方形的一组对边必须在平行线上，另一组对边一定是平行线间的垂直线段，并且正方形的边长就是垂直线段的长。
类型五：运用归纳总结法解决求直线交点个数量的问题。
例5.在同一平面内的2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，10条直线最多有多少个交点呢？

答案：1+2+3+4+……+8+9=45（个）
解析：如图所示

由此可知：n条直线相交，最多有1+2+3+……+（n-2）+（n-1）=n×（n-1）÷2个交点。
【易错精选】
1、 判断：两条直线相交它们就相互垂直。（√）
错误分析：此题错在对两条直线互相垂直的条件认识不够。两条直线互相垂直必须具备两个条件：①相交；②成直角。而此题只说两条直线相交，并未说成直角。
错误改正：×
2、 判断：不相交的两条直线叫平行线（√）
错误分析：此题错在对平行线中“线”的界定认识不清。平行线中的“线”必须在同一个平面内，而且是直线，不能是曲线。
错解改正：×
3、 判断：在同一个平面内，两条直线如果不垂直，那么它们一定平行。（√）
错误分析：在同一平面内，两条直线不垂直，它们可能平行，也可能相交，所以说它们一定平行时错误的。
错解改正：×
【精华提炼】
1. 在同一平面内两条直线不平行就相交，切记前提必须在同一平面呢
2. 画图要用尺规画， 点上点外要看清。
距离一定找垂直， 垂直记得还有足。（垂足）
3.在同一平面内，n条直线相交，最多有1+2+3+……+（n-2）+（n-1）=n×（n-1）÷2个交点。
【本节训练】
训练【1】选择
（1）在同一平面内的两条直线，除了重合以外，它们的位置关系是（ ）
A.平行 B.垂直 C.平行或相交
（2）下午3时，钟面上的时针和分针（ ）
A.重合 B.互相平行 C.互相垂直
（3）有两条直线和同一条直线平行，这两条直线（ ）
A.相互平行 B.相互垂直 C.相交
（4）笑笑在同一平面内画了两条直线，都和同一条直线垂直，这两条直线（ ）
A.相互平行 B.相互垂直 C.相交
（5）在同一平面内，过直线外一点能画（ ）
A.1 B.2 C.无数
（6）两条平行线间可以画（ ）条垂直线段
A.1 B.2 C.无数
（7）如图，如果直线L1平行与L2，那么线段AB和CD的关系是（ ）
A.AB＞CD B.AB=CD C.AB＜CD

训练【2】在既有平行线，又有垂直线段的图形下面画“√”

训练【3】过点B分别画角的两边的垂线

训练【4】李刚家刚建了新房子，要把自来水从主水管引到自己家，怎么做最节省？请画图表示。

训练【5】画一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形。

基础巩固
1. 找一找，在互相平行下面画“△”，在互相垂直下面画“○”

2. 判断
（1）过直线外一点画已知直线的平行线，可以画无数条。（ ）
（2）永不相交的两条直线叫平行线。 （ ）

（3）两条平行线间的垂直线段的长度都相等。 （ ）
（4）在同一个平面内的两条直线，不是平行就是相交。 （ ）
（5）两条直线相互垂直，最多可以组成4个直角。 （ ）
3. 选择
（1）如果在同一个平面内画两条直线，且这两条直线都和第三条直线相交成直角，那么这两条直线（ ）
A.互相垂直 B.互相平行 C.不垂直也不平行
（2）当直线AB与直线CD相交成直角时，下面说法正确的是（ ）
A.直线AB是垂线 B.直线CD是垂线 C.直线AB是直线CD的垂线
（3）两条平行线间可以画（ ）垂直线段
A.1条 B.2条 C.无数条
（4）上午9时，钟面上的时针与分针（ ）
A.重合 B.互相平信 C.相互垂直
4. 过A点画已知直线的垂线

5. 过P点画已知直线的平行线

6. 图中有(　　)组平行线，有(　　)组垂线。

7. 你能在下面这组平行线间画一个最大的正方形么？

巅峰突破
1. 下图中哪些直线是互相垂直的，哪些直线是互相平行的？

2. 在同一个平面内，20条直线最多有多少个交点？

3. 请把下面的平行四边形剪一刀，再拼成一个长方形，如何简拼?

参考答案
【诊断自测】
1. （1）相交 平行线 互相平行 a∥b a平行与b
（2）直 互相垂直 垂 垂足 a⊥b a垂直b
2.

3. AB、AD、AE、AF、AC；AE
4.

【本节训练】
训练【1】 C C A A A C B
训练【2】 √ √ × √
训练【3】

训练【4】

训练【5】

基础巩固
1. (1)○　(3)△　(6)△　(8)○
2. （1）×（2）×（3）√（4）√（5）×
3. （1）B（2）C（3）C（4）C
4.

5.

6. 2　5
7.

巅峰突破
1. 互相垂直：直线a与f，直线b与f，直线g与a，直线g与b。互相平行：直线a与b，直线d与e，直线g与f。
2. 190个
解析：(1+2+3+4+……+19)×19÷2=190
3.

解析：长方形的四个角都是直角，所以只有沿着平行四边形的高剪才可以，将剪下的部分平移到相应的部位又会产生两个直角，进而拼成一个长方形。（剪法不唯一）