大学物理课后习题答案第六章教学总结.docx

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第6章 真空中的静电场 习题及答案

1. 电荷为和的两个点电荷分别置于m和m处。一试验电荷置于轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷位于点电荷的右侧，它受到的合力才可能为，所以

故
2. 电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1) 以处点电荷为研究对象，由力平衡知，为负电荷，所以

故
(2)与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为、电荷线密度为的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为、电荷线密度为的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取，在带电圆环轴线上处产生的场强大小为

x
y
z

根据电荷分布的对称性知，

式中：为到场点的连线与轴负向的夹角。

下面求直线段受到的电场力。在直线段上取，受到的电场力大小为

方向沿轴正方向。
直线段受到的电场力大小为

方向沿轴正方向。
4. 一个半径为的均匀带电半圆环，电荷线密度为。求：
（1）圆心处点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处点场强。
解：（1）在半圆环上取，它在点产生场强大小为
，方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，

故 ，方向沿轴正向。
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为的均匀带电细直杆，总电量为，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为的点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取，在点产生的场强大小为
，方向沿轴负方向。
x
O
故 点场强大小为

方向沿轴负方向。
6. 一半径为的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。
O
R
x
dl

r
在半球面上取宽度为的细圆环，其带电量， 在点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
，方向沿轴负方向
利用几何关系，，统一积分变量，得

因为所有的细圆环在在点产生的场强方向均沿为轴负方向，所以球心处电场强度的大小为

方向沿轴负方向。
7. 一“无限大”平面，中部有一半径为的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为，如图所示。试求通过小孔中心并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为的带电圆盘，由场强叠加原理知，点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在点产生的场强大小为
，方向沿轴正方向
半径为、电荷面密度的圆盘在点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）
x
P

x
，方向沿轴负方向
故 点的场强大小为

方向沿轴正方向。
8. (1)点电荷位于一边长为的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
解：（1）由高斯定理求解。立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为

（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则通过边长的正方形各面的电通量
对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则，如果它包含所在顶点，则。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强。
解：如图所示，电荷面密度为的平面产生的场强大小为
，方向垂直于该平面指向外侧
电荷面密度为的平面产生的场强大小为
，方向垂直于该平面指向外侧
由场强叠加原理得
两面之间，，方向垂直于平面向右
面左侧，，方向垂直于平面向左
面右侧，，方向垂直于平面向右
10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为和，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为（）。试求各区域的电场强度分布。
解：电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理得

当时，，所以

当时，，所以

当时，，所以

11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为和（），若大球面的面电荷密度为，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。
解:（1）电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理得

当时，，，所以

（2）当时，，所以

当时，，所以

负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 一厚度为的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为，求板内外的场强。
解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为，底面圆的面积为。由高斯定理得

当时（平板内部），，所以

当（平板外部），，所以

13. 半径为的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为，底面圆半径为，应用高斯定理求解。

(1) 当时， ，所以

(2) 当时，，所以

14.一半径为的均匀带电圆盘，电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心点的电势。
解：取半径为、的细圆环，则在点产生的电势为

圆盘中心点的电势为

15. 真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是和。取两环的轴线为轴，坐标原点O离两环中心的距离均为，如图所示。求轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取，它在轴上任一点产生的的电势为

右边带电圆环在产生的的电势为

同理，左边带电圆环在P产生的电势为

由电势叠加原理知，的电势为

16. 真空中一半径为的球形区域内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，该区域内点离球心的距离为，点离球心的距离为。求、两点间的电势差
解：电场分布具有轴对称性，以为球心、作半径为的同心球面为高斯面。由高斯定理得
当时， ，所以

、两点间的电势差为

17．细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为和，两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为。求：
（1）内圆柱面上单位长度所带的电量；
（2）在离轴线距离处的电场强度大小。
解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为，底面圆半径为，应用高斯定理求解。

内、外两圆柱面之间，，所以

内、外两圆柱面之间的电势差为

内圆柱面上单位长度所带的电量为

（2）将代人场强大小的表达式得，
在离轴线距离处的电场强度大小为

18. 如图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功。
解：点的电势为

点的电势为

电场力作的功为

19．如图所示，均匀带电的细圆环半径为，所带电量为（），圆环的圆心为，一质量为，带电量为（）的粒子位于圆环轴线上的点处，点离点的距离为。求：
（1）粒子所受的电场力的大小和方向；
（2）该带电粒子在电场力的作用下从点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到无穷远处时的速度为多大？
解：（1）均匀带电的细圆环在点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
，方向沿向右
粒子所受的电场力的大小

，方向沿向右
（2）在细圆环上取，在点产生的电势为

点的电势为

由动能定理得，

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