人教版初中数学第二十七章相似知识点讲课讲稿.doc

人教版初中数学第二十七章相似知识点

精品文档
第二十七章 相 似
一、目标与要求
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.
2．能根据相似比进行计算.
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义， 领会特殊与一般的关系.
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.二、知识框架

三、重点、难点
1．理解并相似三角形的判定与性质
2．位似图形的有关概念、性质与作图．
3．利用位似将一个图形放大或缩小．
4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

四、中考所占分数及题型分布
本章会出1-2道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占15-20分.

第二十七章 相 似
27.1 图形的相似
1.每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形.
2.相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.
3.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.
4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
5.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形.
例1：
1. 从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相似？
2. 从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像，是否相似？
6. 相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.
例2：在比例尺为1：10000000的地图上，量的A、B两地的距离为10cm，求两地的实际距离.
解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的1cm相当于实际10000000cm，即100km.
A、B两地相距10cm，相当于1000km.
例3：如图27.1-1，四边形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度x.

图27.1-1
解：四边形ABCD和EFGH相似，他们的对应角相等，因此可得
，
在四边形ABCD中，

四边形ABCD和EFGH相似，他们的对应边相等，由此可得
，即
解得
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
在△ABC和△A‘B‘C’中，如果，，我们就说△ABC和△A‘B‘C’相似记作△ABC∽△A‘B‘C’，k就是他们的相似比.
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
例1.如图27.2-1，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE//BC，DE交AC于点E，△ADE与△ABC有什么关系？
解：在△ADE与△ABC中，
DE//BC

过点E作EF//AB，EF交BC于点F.
在□BFED中，DE=BF，DB=EF

又
∴△ADE∽△EFC
AE=EC=
∵△ADE和△ABC的对应角相等，对应边的比相等
∴△ADE∽△ABC
1. 平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
例2.如图27.2-1，在△ABC和△A‘B‘C’中，，求证△ABC和△A‘B‘C’相似.

图27.2-1
证明：在线段A’B’（或它的延长线）上截取A‘D=AB，过点D做DE//B’C’，交A’C’于点E，根据前面的结论可得△A’DE∽△A’B’C’

又，A’D=AB，
∴，∴A’E=AC
同理DE=BC
∴△A’DE≌△ABC
∴△A’DE∽△A’B’C’
2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
例 在△ABC和△A‘B‘C’中，已知AB=6CM，BC=8CM，AC=10CM，A‘B’=18CM，B‘C’=24CM，A‘C’=30CM，试证明△ABC和△A‘B‘C’相似.
证明：

故△ABC和△A‘B‘C’相似.
例.设△ABC与△DEF中，AB:DE=AC:DF，∠A=∠D，△ABC与△DEF有什么关系？
解：把△DEF放到△ABC中与之重合.
∵AB:DE=AC:DF，∴EF//BC.
∴两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似.
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
例.根据下列条件判断△ABC和△A‘B‘C’是否相似，并说明理由.
（1），AB=7cm，AC=14cm，，AB=3cm，AC=6cm
（2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A‘B’=12cm，B‘C’=18cm，A‘C’=21cm
解：（1），
又∴△ABC∽△A’B’C’
（2）

△ABC和△A‘B‘C’的三组对应边的比不等，它们不相似.
例. 假设两个三角形的两组对应边的比相等，并且有一组角相等（不是这两边所夹的角），那么这两个三角形相似？
解：
情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习）
情形二：当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似.因为由勾股定理马上知道，两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 .
情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似.
如图，△ABC和△ADC中，AB=AD，AC是两个三角形的公共边，∠C是两个三角形的公共角.但是二者显然不相似.

4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
例.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

解：
∵DE∥BC，∴DE∥FC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，∴EF∥AD，
∴∠A=∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．

27.2.2 相似三角形应用举例
27.2.3 相似三角形的周长和面积
相似三角形周长的比等于相似比.
用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比.
相似三角形面积比等于相似比的平方.
相似多边形面积的比等于相似比的平方
如果△ABC和△A‘B‘C’相似，相似比为k，那么
因此
从而
由此我们得到：
相似三角形周长的比等于相似比.
用类似的方法，还可得出：
相似多边形的周长比等于相似比.
例.如图27.2 △ABC∽△A’B’C’，相似比为k，他们的面积比为多少？

分别作△ABC和△A’B’C‘的高AD和A’D’.
∵△ABD和△A’B‘D’都是直角三角形，并且
∴△ABD∽△A‘B‘D‘

相似三角形面积比等于相似比的平方.
对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到
相似多边形面积的比等于相似比的平方
例27.2 在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，，则△EFC的周长为？
解：在平行四边形ABCD中，
∵AB//CD，∴，又，，故AD=DF=9，则CF=DF-DC=3
，，
∴△EAB∽△EFC，
，又∵BC=BE+CE=9，∴CE=3，BE=6.
在Rt△BGE中，由勾股定理得，
，∵AB=BE=6，BG⊥AE，∴AG=GE=2，
则EA=AG+GE=4，，
故CF+CE+EF=3+3+2=8
所以△EFC的周长为8.
例27.2 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为多少？
解：，，∴△ADE∽△ACB，
∵S△ADE=4，S四边形BCED=5，∴S△ACB=4+5=9，
S△ADE：S△ACB=4：9，
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2：3，
即AE:AB=2:3，故AB=3.
例 如图27.2 在□ABCD中，AE:EB=2:3，DE交AC于点F.
（1） 求△AEF与△CDF的周长比；
（2） 如果S△CDF=20cm2，求S△AEF.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
，
∴△AEF∽△CDF，
（2），=20，
27.3 位似
（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（3） 掌握位似图形概念，需注意：
①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
②两个位似图形的位似中心只有一个；
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.
例. 如图，四边形ABCD的坐标分别为A（-6，6），B（-8，2），C（-4，0），D（-2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为的位似图形.
例.
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除