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人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

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人教版必修二圆与方程专题讲义
一、标准方程
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）

条件 方程形式
圆心在原点
过原点
圆心在轴上
圆心在轴上
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
与轴相切
与轴相切
与两坐标轴都相切
二、一般方程
1.表示圆方程，则

2.求圆的一般方程方法
①待定系数：往往已知圆上三点坐标
②利用平面几何性质
涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心
涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理
3.常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内；点在圆上；点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）
3.以两点为直径的圆方程为

四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（为圆心到直线的距离）
（1）相离没有公共点
（2）相切只有一个公共点
（3）相交有两个公共点
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线与圆相切意味圆心到直线的距离恰好等于半径
（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i）点在圆外
如定点，圆：，[]
第一步：设切线方程
第二步：通过，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了.
如：过点作圆的切线，求切线方程.
答案：和
ii）点在圆上
若点在圆上，则切线方程为

注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
③求切线长：利用基本图形，
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________. 答案：
4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
五、对称问题
1.若圆，关于直线，则实数的值为____.
答案：3（注意：时，，故舍去）
变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________.
2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.
变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________.
3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.
4.已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.
六、最值问题
方法主要有：（1）数形结合；（2）代换
例：已知实数，满足方程，求：
（1）的最大值和最小值；——看作斜率
（2）的最小值；——截距（线性规划）
（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
七、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（为圆心距）
（1）外离 （2）外切
（3）相交 （4）内切
（5）内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
注：若与相切，则表示其中一条公切线方程；
若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
3．圆系问题
（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）
注：1）上述圆系不包括；
2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线与圆交点的圆系方程为
（3）有关圆系的简单应用
（4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；
③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线
八、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例：过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析：
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动

动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例：如图，已知定点，点是圆上的动点，的平分线交于，当点在圆上移动时，求动点的轨迹方程.
分析：角平分线定理和定比分点公式.
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