高中数学直线方程公式电子教案.doc

高中数学直线方程公式

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直线方程公式
1.斜率公式
①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tanα (α)
②若直线过点和两点. 则
解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P1（x1,y1），P2（x2,y2）的中点P0（x0,y0），则x0=（x1+ x2）/2，y0=（y1+ y2）/2。
2.方向向量坐标 ：
3.两条直线的平行和垂直
【1】两直线平行的判断
（1）若，，则l1∥l2充要条件是k1=k2,且b1≠b2。
（2）若l1：x=x1， l2：x=x2，则l1∥l2充要条件是x1≠x2。
（3）不重合的两条直线l1、l2倾斜角分别为α1、α2，则l1∥l2充要条件是α1=α2。
（4）l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，且A1、A2、B1、B2都不为零，则l1∥l2充要条件是A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0（或A1C2-A2C1≠0）。。
【2】两直线垂直的判断
（1）若，，则l1⊥l2充要条件是k1·k2=-1。
（2）若l1的斜率不存在，则l1⊥l2充要条件是l2的斜率为零。
（3）两条直线l1、l2倾斜角分别为α1、α2，则l1⊥l2充要条件是=900。
（4）l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，且A1、A2、B1、B2都不为零，则l1⊥l2充要条件是A1A2+B1B2=0。
【3】两直线相交的判断
（1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。
（2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。
（3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
（4）直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，则A1B2-A2B1≠0是两直线相交的充要条件。
【4】两直线重合的判断
当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0（或A1C2-A2C1=0）时，两直线重合。
4..直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
5.“到角”及“夹角”公式 ：
（1）夹角公式（与的角）
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直线时，直线l1与l2的夹角是.
（2）到的角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直线时，直线l1到l2的角是.
6.对称问题
【1】关于点对称问题
（1）求已知点关于点的对称点
P（x1，y1）关于点Q（x0，y0）的对称点为（2 x0- x1，2 y0- y1）。
（2）直线关于点的对称直线
设l的方程为：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）和点P（x0，y0），求l关于P点的对称直线方程。设P1（x1，y1）是对称直线l1任意一点，它关于P（x0，y0）的对称点（2 x0- x1，2 y0- y1）在直线l上，代入得A（2 x0- x1）+B（2 y0- y1）+C=0，即Ax1+By1+C1=0为所求对称直线的方程。与已知方程平行。
常见和对称结论有：设直线l：Ax+By+C=0：
※l关于x轴的对称直线是Ax+B（-y）+C=0
※l关于y轴的对称直线是A（- x）x+By+C=0

※l关于原点的对称直线是A（- x）x+B（-y）+C=0
※l关于y=x的对称直线是Bx+Ay+C=0
※l关于y=-x的对称直线是A（-y）+B（- x）+C=0
【2】关于直线对称问题
（1）点关于直线的对称点
※设P（x0，y0），l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），若P关于l的对称点的坐标Q为（x，y），则l是PQ的垂直平分线，即PQ⊥l，PQ的中点在l上，解方程组可得Q点坐标。
※点A（x，y）关于直线x+y+c=0的对称点A1的坐标为（-y-c, -x-c），关于直线x-y+c=0的对称点A2的坐标为（y-c, x+c），曲线f（x,y）=0关于直线x+y+c0的对称曲线为f（-y-c, -x-c）=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f（y-c, x+c）=0。
※一般地，点A（a,b）关于x轴的对称点的坐标为A1（a,-b），关于y轴的对称点的坐标为A2（-a,b），关于y=x轴的对称点的坐标为A3（b,a），关于y=-x轴的对称点的坐标为A4（-b,a），关于x=m轴的对称点的坐标为A5（2m-a,b），关于y=n轴的对称点的坐标为A6（a,2n-b）。
（2）直线关于直线的对称直线
若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：
※若a、b相交，则l是a、b夹角的平分线；
※若点A在直线a上，那么点A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时，AB⊥l且AB中点D在l上；
※a以l为轴旋转1800一定与b重合。
7、两点间的距离公式
若点 ，
则 即 终点坐标-始点坐标

若
8.点到直线间的距离公式
点到 l : Ax+By+C=0的距离为

点到几种特殊直线的距离：
※点P（x0，y0）到x轴的距离d=，
※点P（x0，y0）到y轴的距离d=，
※点P（x0，y0）与x轴平行的直线y=a的距离d=，
※点P（x0，y0与y轴平行的直线x=b的距离d=。
9.平行线间的距离公式
与 的距离为
10．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
11、求最大值与最小值
在直线l上求一点P使取得最小值时，“同侧对称异侧连”，即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。
在直线l上求一点P使取得最大值时，“异侧对称同侧连”。
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