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上海市青浦区2019届高三二模数学试题(原卷版)
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上海市青浦区2019届高三二模数学
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.不等式的解集是________
2.已知复数满足（其中为虚数单位），则________
3.在平面直角坐标系中，在轴、y轴正方向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________
4.在的二项展开式中，含有项的系数为________（结果用数值表示）
5.在平面直角坐标系中，若双曲线经过抛物线（）的焦点，则________
6.已知、是互斥事件，，，则________
7.函
2、数的最大值为________
8.若实数、y满足条件，则的最小值为________
9.已知、b、都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是________
10.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________
11.已知函数（），在区间内有两个零点，则的取值范围是________
12.已知为的外心，，，则的最大值为________
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
14.已知是斜三角形，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要
3、不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
15.已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
16.等差数列,满足
，则（ ）
A. 的最大值为50 B. 的最小值为50
C. 的最大值为51 D. 的最小值为51
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17.如图，圆柱是矩形绕其边所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点.
（1）求三棱锥体积与圆柱体积的比值；
（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是
4、线段的中点，求异面直线CM与所成角的大小.
18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得，现有两种铺设方案：① 沿线段AB在水下铺设；② 在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km.
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
19.已知，函数.
（1）求的值，使得为奇函数；
（2）若且对任意都成立，求的取值范围.
20.在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆；
（2）在同一直角坐标系中，△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（，）得到△，记△和△的面积分别为S与，求证：；
21.已知函数（），且不等式对任意的都成立，数列是以为首项，公差为1的等差数列（）.
（1）当时，写出方程的解，并写出数列的通项公式（不必证明）；
（2）若（），数列的前项和为，对任意的，都有成立，求的取值范围.
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