1、
石家庄市2013年高三质量检测(二)数学理科试
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2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)
高三数学（理科答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5 ADDCB 6-10 CCCAB 11-12DB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 6 14. 24 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说
2、明，证明过程或演算步骤．
(原则上只给出一种标准答案,其他解法请老师根据评分标准酌情处理)
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为
……………2分
………………4分
所以的最小正周期为.……………6分
（Ⅱ）因为
……………8分
于是，当时，
取得最大值1；…………10分
当取得最小值—2.……………12分
18. （本小题满分12分）
(Ⅰ)依题意可知
……………3分
所以综合素质成绩的的平均值为74.6.……………5分
(Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为,
由题意知，
故其分布列为
0
1
2
3
……
3、…………9分
.………………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接则,因为AM=MB,所以MN……………2分
又,
所以MN//.…………4分
（Ⅱ）作,
因为面底面
所以
以O为原点，建立如图所示空间直角坐 标系，则,B(-1,0,0),C(1,0,0)
.由可求出
…………6分
设P(x,y,z),
.解得,
,.
设平面的法向量为
解得………8分
同理可求出平面的法向量.…………10分
由面平面，得，即
解得：………………12分
20. （本小题满分12分）
解:（Ⅰ）当直线与抛物线无公共点时，
由定义知为抛物线的准线，抛
4、物线焦点坐标
由抛物线定义知抛物线上点到直线的距离等于其到焦点F的距离.
所以抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线的距离.
所以，则=2.………………3分
当直线与抛物线有公共点时，把直线的方程与抛物线方程联立消去得关于的方程，由且得，此时抛物线上的点到直线的最小距离为，不满足题意.
所以，抛物线方程为.…………4分
（Ⅱ）设M，由题意知直线斜率存在，设为k,且,所以直线方程为,
代入消x得：
由………………6分
所以直线方程为，令x=-1,又由得
设则
由题意知……………8分
，把代入左式,
得：，……………10分
因为对任
5、意的等式恒成立，
所以
所以即在x轴上存在定点Q（1,0）在以MN为直径的圆上.……………12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f(x)的定义域为，
时，>0, 在上单调递增；
时，<0, 在上单调递减.
综上所述：
在上单调递增,在上单调递减.…………3分
（Ⅱ）要证，只需证,令即证，
令，
因此得证.…………………6分
要证，只要证，
令，只要证，
令，
因此，
所以得证.………………9分
另一种的解法:
令=,,
则 ,
所以在单调递增，
即得证.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知,（），则
所以.………………12分
请考生在第
6、22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
证明：(Ⅰ)由弦切角定理知 …………2分
由，
所以, 即…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
所以,……………7分
因为，,
所以∽,
所以,即…………10分
即：.
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：(Ⅰ)原式可化为，…………2分
即……………4分
(Ⅱ)依题意可设由(Ⅰ)知圆C圆心坐标（2,0）。
,……………6分
,…………8分
所以.…………10分
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：
即：……………2分
由得
由得
综上原不等式的解为……………5分
(Ⅱ)原不等式等价于
令，即，…………8分
由，所以，
所以.………………10分
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