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上海市静安区2018届高三二模数学试卷

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上海市静安区2018届高三二模数学试卷
2018.05

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合，，则图中阴影部
分集合用列举法表示的结果是
2. 若复数满足（是虚数单位），则
3. 函数的定义域为
4. 在从4个字母、、、中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母事件
的概率是
5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则

6. 如上右图，以长方体的顶点D为坐标原点，过的三条棱所在的直线
为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
7. 方程的解集为
8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上
一点到焦点F的距离为5，则该抛物线的
标准方程为
9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》
中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算
法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入、
的值分别为4、2，则输出q的值为
（在算法语言中用“”表示乘法运算符号，例如）
10. 已知等比数列的前项和为（），且，，则的值为
11. 在直角三角形ABC中，，，，E为三角形ABC内一点，
且，若，则的最大值等于
12. 已知集合，
，若，则实数取值范围为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
14. 若实系数一元二次方程有两虚数根，，且，那么实数
的值是（ ）
A. B. 1 C. D.
15. 函数的部分
图像如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D. 0
16. 已知函数，实数、、满足，，，则的值（ ）
A. 一定大于30 B. 一定小于30
C. 等于30 D. 大于30、小于30都有可能

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C是指
每平方米的昆虫数量，已知函数，
这里的是从午夜开始的小时数，是实常数，.
（1）求的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.

18. 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为和，椭圆上一点到和的距离之和为12.
圆的圆心为.
（1）求△的面积；
（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆.
问：是否存在实数k使得圆包围椭圆？请说明理由.

19. 如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，，，.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20. 已知数列中，，，，.
又数列满足：，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列是单调递增数列，求实数的取值范围；
（3）若数列的各项皆为正数，，设是数列的前和，问：是否存
在整数，使得数列是单调递减数列？若存在，求出整数；若不存在，请说明理由.

21. 设函数（为实数）.
（1）若，解不等式；
（2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围；
（3）设，若存在使不等式成立，求的取值范围.

参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4. 5. 4
6. 7. 8.
9. 50 10. 11. 1 12.

二. 选择题
13. D 14. A 15. C 16. B

三. 解答题
17. 解（1）；　　　　　　　　……4分
（2）当时，C达到最小值，得，……8分
又，解得或14.
所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. 　……14分
18. 解：（1）设椭圆方程为：，……1分
由已知有， ……2分
所以椭圆方程为：，　　　　　　　　　……　3分
圆心　　　　　　　　　 　……5分
所以，△的面积　　　……6分
（2）当时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：
，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分
当时，，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外；
所以，不论取何值，圆都不可能包围椭圆Γ．……14分
19. 解：（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，
直线 分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分
则,,,,．
所以，，，
，．　　　　……3分
则．
故异面直线与所成角的余弦值为……6分
（2），．
设平面的一个法向量为，
则，得，令，得，．
得平面的一个法向量为．　　　　　　……9分
又平面的一个法向量为， ……10分
所以，，．则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ……14分
20. 解：（1）
　 ……2分 即 ……3分
又，由，则
所以是以为首项，2为公比的等比数列． ……4分
（2），所以 ……6分
若是单调递增数列，则对于，恒成立 ……7分

　　……8分
由，得对于恒成立，
∵递增，且，，
所以，又，则．　　　　　　　……10分
（3）因为数列的各项皆为正数，所以，
则．，　　　……13分
若数列是单调递减数列，则，即
，即，
所以．不存在整数，使得数列是单调递减数列．　……16分
21. 解：（1）由得， ……1分
解不等式得 ……4分
（利用图像求解也可）
（2）由解得．由得，
当时，该不等式即为； ……5分
当时，符合题设条件； ……6分
下面讨论的情形，
当时，符合题设要求； ……7分
当时，，由题意得，解得；
综上讨论，得实数a的取值范围为 ……10分
（3）由， ……12分
代入得，令，
则， ，
∴ ……15分
若存在使不等式成立，则． ……18分

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