2020届邯郸市一模数学(理)-试卷教学教材.doc

2020届邯郸市一模数学(理)-试卷

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邯郸市2020年空中课堂高三备考检测
理科数学
同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课——自律。岁月不蹉跎，未来才可期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则
A． B． C． D．
3．的展开式第三项为
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致为

A. B. C. D.
5．设变量，满足约束条件则的最小值为
A．2 B． C．4 D．
6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为
A．120
B．145
C．270
D．285
7．若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
8．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当时，的最小值为
A．0 B． C． D．
9．设，为正数，且，则的最小值为
A． B． C． D．
10．已知为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，，则为
A． B． C． D．
11．已知点在函数的图象上，且．给出关于的如下命题
的最小正周期为10 的对称轴为
方程有3个实数根
其中真命题的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知三棱柱各棱长均为2，平面，有一个过点且平行于平面的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是
A． B． C． D．

第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知是首项为的等比数列，若成等差数列，则________.
14．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则可输入的所有值组成的集合为____________.
15．若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.

16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件第次取单恰好是从1号店取单，是事件发生的概率，显然，，则= ，与的关系式为 ．（）
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
的内角的对边分别是，，.
（1）求；
（2）若成等差数列，求的面积.

18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，，点为的中点.平面交侧棱于点，四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.

19．（12分）
中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.

另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
周降雨量
（单位：）

猕猴桃
灾害等级
轻灾
正常
轻灾
重灾
根据上述信息，解答如下问题.
（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；
（2）以收集数据的频率作为概率.
①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；
②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；
方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.
方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.
方案3：不采取防控措施.
问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.

20．（12分）
已知椭圆过点且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求弦长的取值范围．

21．（12分）
已知函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2）求证：．

（二）选考题：共10 分。请考生从第22、23 题中任选一题做答。并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分不涂，按本选考题的首题进行评分。
22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积.
23． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.

邯郸市2020年空中课堂高三备考检测
理科数学 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．答案：B
解析：，所以在复平面内对应的点位于第二象限．
2．已知集合，则
A． B． C． D．
2．答案：B
解析：
3．的展开式第三项为
A． B． C． D．
3．答案：C
解析：
4．函数的部分图象大致为

A. B. C. D.
4．答案: A
解析:因为，所以为奇函数，
排除，当时，，排除，故选.
5．设变量，满足约束条件则的最小值为
A．2 B． C．4 D．
5．答案：D
解析：画出可行域，可发现的最小值是到距离的平方.

6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为
A．120
B．145
C．270
D．285
6．答案：B
解析：记第个五角形数为，由题意知：
易知，由累加法得，所以.
7．若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为

A． B． C．2 D．
7．答案：A
解析：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为
函数图象也过原点，结合图形可知切点就是
，
8．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当时，的最小值为
A．0 B． C． D．
8．答案：A
解析：关于对称
的周期为
时最小值即为时最小值

，，选A
9．设，为正数，且，则的最小值为
A． B． C． D．
9．答案：D
解析:当时，
,
因为，
当且仅当，即时取等号，则．
10．已知为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，，则为
A． B． C． D．
10．答案: C
解析:过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为，

设，则，
，因为，.
11．已知点在函数的图象上，且．给出关于的如下命题
的最小正周期为10 的对称轴为
方程有3个实数根
其中真命题的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
11．答案：C
解析：
，
，所以为假命题
对称轴为，所以为真命题
，所以为假命题
方程有个根，所以为真命题
选C

12．已知三棱柱各棱长均为2，平面，有一个过点且平行于平面的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是
A． B． C． D．
12．答案：A
解析：
投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以我们就以平面为投影面，然后构造四棱柱，得到投影为五边形，通过计算可得正投影的面积为.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知是首项为的等比数列，若成等差数列，则________.
13．答案：
解析：
14．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则可输入的所有值组成的集合为____________.
14．答案：
解析：（1）当时，得
（2）当时得，所以答案为
15．若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.
15．答案：
解析：因为对任意都有，故点C到AB所在直线的距离为2
设AB中点为M，则

当且仅当时等号成立
16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件第次取单恰好是从1号店取单，是事件发生的概率，显然，，则= ，与的关系式为 ．（）
16．答案：；
解析：第2次取单恰好是从1号店取单，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以
，，因此

三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
的内角的对边分别是，，.
（1）求；
（2）若成等差数列，求的面积.
17．解：

18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，，点为的中点.平面交侧棱于点，四边形为平行四边形.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.

18．解：
（1）证明：四边形为平行四边形.
，又
，又 点E为PC的中点
·············1分
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD =2可得
连接BD，易得

…………………………………………………………3分
又PC底面ABCD，BD平面ABCD
BD平面PBC…………………………………………………………4分
BD平面PBD，
平面PBD平面PBC………………………………………………5分
（2）
由（1）知CD=2，
在直角梯形中可得DCB=
又PC底面ABCD
以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示……………6分
则设

BD平面PBC
平面PBC的法向量可取……………………………………7分
设平面ABP法向量为
由 得
可取…………………………………………………………8分

h=2…………………………………………………………………………9分
， ……………………………………10分

PD与平面PAB所成角的正弦值为.…………………………………12分
19．（12分）
中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量（单位：）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.

另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.
周降雨量
（单位：）

猕猴桃
灾害等级
轻灾
正常
轻灾
重灾
根据上述信息，解答如下问题.
（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；
（2）以收集数据的频率作为概率.
①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；
②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；
方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元.
方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元.
方案3：不采取防控措施.
问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.
19．解：
（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10 .….….…4分
（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量（单位：）的概率：
，，，，
，
因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和 ，无灾害概率为……6分
② 方案1：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000，-10800，则的分布列如下：

6000
-10800

则(元)，则每亩净利润为（元）；
方案2：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000元，于是，，净利润为（元）；
方案3：设每亩的获利为（元），则的可能取值为6000，-5400，-10800，
则的分布列如下：

6000

-5400
-10800

则(元)，于是每亩亏损为（元）；
由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.……12分

20．（12分）
已知椭圆过点且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在三个不同的点,满足,求弦长的取值范围.
20．解：
（1）由题意知，又因为，解得.
则椭圆标准方程为. ………………………………………4分
（2）因为，则由向量加法的意义知四边形为平行四边形.
设直线过两点，
①若直线垂直于轴，易得：或者，
此时. …………………………………………………………………5分
②若直线不垂直于轴，设，，
将直线代入的方程得
故， ……………………………………………………7分
因为，所以，
则，，即.
因为在椭圆上，有，化简得. …………………9分
验证，.
所以
所以.………………………10分
因为，则，即，得.
综上可得，弦长的取值范围为． ………………………………………12分

21．（12分）
已知函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2求证：．
21．解：
（1）当时，，
令，则在上为减函数，且
所以，当时， ，单调递增；
当时， ，单调递减.
故递增区间为；递减区间为 …………4分
（2），
只需证
即 …………6分
易证成立. …………8分
记，则令，得
并且，当时，，单调递增；当时，，单调递减
所以，
即，命题得证. …………12分
（二）选考题：共10 分。请考生从第22、23 题中任选一题做答。并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积．
22．解：
（1）由题意可得的直角坐标方程为，
其极坐标方程为........................2分
设点的极坐标为，则对应的点的极坐标为....................3分
又点在上，所以
即的极坐标方程为 ........5分
（2）由题意知点到射线的距离为，.......................7分
由（1）知的极坐标方程为，
， ..........................9分
所以 ..................................................10分
23． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
23．解：
（1）当时，.
当时，，此时的解集为；...................2分
当时，，此时的解集为；.......3分
当时，，此时的解集为.............................4分
综上所述的解集为................................................................................................5分
（2） 由（1）可知当时，在内恒成立；..............................................6分
当时，在内恒成立；..............7分
当时，在内，不满足在上恒成立的条件..............................................................................................................................9分
综上所述.........................................................................................................................................10分

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