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考研数学公式(word版,高数+线代+概率)

学习—————好资料
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α

sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理： ·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解
两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

概率公式整理

1．随机事件及其概率
吸收律：

反演律：

2．概率的定义及其计算

若

对任意两个事件A, B, 有

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

3．条件概率

乘法公式

全概率公式

Bayes公式

4．随机变量及其分布

分布函数计算

5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布

(2) 二项分布
若P ( A ) = p

*Possion定理

有

(3) Poisson 分布

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布

(2) 指数分布

(3) 正态分布 N (m , s 2 )

* N (0,1) — 标准正态分布

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

边缘分布函数与边缘密度函数

8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

(2) 二维正态分布

9. 二维随机变量的 条件分布

10. 随机变量的数字特征

数学期望

随机变量函数的数学期望

X 的 k 阶原点矩

X 的 k 阶绝对原点矩

X 的 k 阶中心矩

X 的 方差

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩

X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩

X ,Y 的 二阶混合原点矩

X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差

X ,Y 的相关系数

X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X))2)

协方差

相关系数

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
沟通：突出各部分内容间的联系。
充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。
大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算
①
②
③
④
⑤或。

。

转置值不变
逆值变

，3阶矩阵

有关乘法的基本运算

线性性质 ，

结合律

不一定成立！
，
，

与数的乘法的不同之处
不一定成立！
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如

无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当时或
由和
由时（无左消去律）
特别的 设可逆，则有消去律。
左消去律：。
右消去律：。
如果列满秩，则有左消去律，即
①
②

可逆矩阵的性质
i）当可逆时，
也可逆且。
也可逆，且。
数，也可逆，。
ii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且。
推论：设，是两个阶矩阵，则
命题：初等矩阵都可逆，且

命题：准对角矩阵
可逆每个都可逆，记

伴随矩阵的基本性质：

当可逆时， 得， （求逆矩阵的伴随矩阵法）
且得：
伴随矩阵的其他性质
①,
②
③,

④
⑤，
⑥。 时，
关于矩阵右上肩记号：，，，*
i) 任何两个的次序可交换，
如，
等
ii) ，

但不一定成立！

线性表示

有解
有解
有解，即可用A的列向量组表示
，，
则。
，
则存在矩阵，使得
线性表示关系有传递性 当，
则。
等价关系：如果与互相可表示
记作。

线性相关
，单个向量， 相关
，相关对应分量成比例 相关
①向量个数=维数，则线性相（无）关
，有非零解
如果，则一定相关
的方程个数未知数个数
②如果无关，则它的每一个部分组都无关
③如果无关，而相关，则
证明：设不全为0，使得
则其中，否则不全为0，，与条件无关矛盾。于是。
④当时，表示方式唯一无关
（表示方式不唯一相关）
⑤若，并且，则一定线性相关。
证明：记，，
则存在矩阵，使得 。
有个方程，个未知数，，有非零解，。
则，即也是的非零解，从而线性相关。
各性质的逆否形式
①如果无关，则。
②如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果无关，而，则无关。
⑤如果，无关，则。
推论：若两个无关向量组与等价，则。

极大无关组
一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组
①无关
②
另一种说法： 取的一个极大无关组
也是的极大无关组相关。
证明：相关。

③可用唯一表示
④

⑤

矩阵的秩的简单性质

行满秩：
列满秩：
阶矩阵满秩：
满秩的行（列）向量组线性无关

可逆
只有零解，唯一解。

矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
①
②时，
③
④
⑤可逆时，
弱化条件：如果列满秩，则
证：下面证与同解。
是的解
是的解
可逆时，
⑥若，则（的列数，的行数）
⑦列满秩时
行满秩时
⑧

解的性质
1．的解的性质。
如果是一组解，则它们的任意线性组合一定也是解。

2．
①如果是的一组解，则
也是的解
是的解

特别的： 当是的两个解时，是的解
②如果是的解，则维向量也是的解是的解。
解的情况判别
方程：，即
有解

无解
唯一解
无穷多解
方程个数：

①当时，，有解
②当时，，不会是唯一解
对于齐次线性方程组，
只有零解（即列满秩）
（有非零解）

特征值特征向量
是的特征值是的特征多项式的根。
两种特殊情形：
（1）是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

（2）时：的特征值为
特征值的性质
命题：阶矩阵的特征值的重数
命题：设的特征值为，则
①
②
命题：设是的特征向量，特征值为，即，则
①对于的每个多项式，
②当可逆时，，
命题：设的特征值为，则
①的特征值为
②可逆时，的特征值为
的特征值为
③的特征值也是
特征值的应用
①求行列式
②判别可逆性
是的特征值不可逆
可逆不是的特征值。
当时，如果，则可逆
若是的特征值，则是的特征值。
不是的特征值可逆。
n阶矩阵的相似关系
当时，，而时，。
相似关系有i）对称性：
，则
ii）有传递性：，，则
，，则

命题 当时，和有许多相同的性质
①
②
③，的特征多项式相同，从而特征值完全一致。
与的特征向量的关系：是的属于的特征向量是的属于的特征向量。

正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性
变为，则它们同时正定或同时不正定
，则，同时正定，同时不正定。
例如如果正定，则对每个

（可逆，，！）
我们给出关于正定的以下性质
正定
存在实可逆矩阵，。
的正惯性指数。
的特征值全大于。
的每个顺序主子式全大于。

判断正定的三种方法：
①顺序主子式法。
②特征值法。
③定义法。

基本概念
对称矩阵。
反对称矩阵。
简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。
如果是一个阶矩阵，是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定
矩阵消元法：（解的情况）
①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。
②用判别解的情况。
i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。
ii）如果有解，记是的非零行数，则
时唯一解。
时无穷多解。
iii）唯一解求解的方法（初等变换法）
去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。
则都不为。
就是解。

一个阶行列式的值：
①是项的代数和
②每一项是个元素的乘积，它们共有项 其中是的一个全排列。
③ 前面乘的应为 的逆序数

代数余子式
为的余子式。

定理：一个行列式的值等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为。

范德蒙行列式
个

乘法相关
的位元素是的第行和的第列对应元素乘积之和。

乘积矩阵的列向量与行向量
（1）设矩阵，维列向量，则

矩阵乘法应用于方程组
方程组的矩阵形式
，
方程组的向量形式

（2）设，

的第个列向量是的列向量组的线性组合，组合系数是的第个列向量的各分量。
的第个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数是的第个行向量的各分量。
矩阵分解
当矩阵的每个列向量都是的列向量的线性组合时，可把分解为与一个矩阵的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

对角矩阵从右侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各列向量
对角矩阵从左侧乘一矩阵，即用对角线上的元素依次乘的各行向量
于是，
，
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的次方幂只须把每个对角线上元素作次方幂
对一个阶矩阵，规定为的对角线上元素之和称为的迹数。
于是
其他形式方阵的高次幂也有规律
例如：
初等矩阵及其在乘法中的作用
（1）：交换的第两行或交换的第两列
（2）：用数乘的第行或第列
（3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。
初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵等同于对作一次相当的初等行（列）变换

乘法的分块法则
一般法则：在计算两个矩阵和的乘积时，可以先把和用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求的纵向分割与的横向分割一致。

两种常用的情况
（1）都分成4块
，
其中的列数和的行数相等，的列数和的行数相关。

（2）准对角矩阵

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程 （都需求是方阵，且）

（I）的解法：

（II）的解法，先化为。
。
通过逆求解：，

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，证作。
定理：阶矩阵可逆
求的方程（初等变换法）

伴随矩阵

线性表示
可以用线性表示，即可以表示为的线性组合，
也就是存在使得
记号：

线性相关性
线性相关：存在向量可用其它向量线性表示。
线性无关：每个向量都不能用其它向量线性表示
定义：如果存在不全为的，使得则称线性相关，否则称线性无关。
即：线性相（无）关有（无）非零解
有（无）非零解

极大无关组和秩
定义：的一个部分组称为它的一个极大无关组，如果满足：
i）线性无关。
ii）再扩大就相关。

定义：规定的秩。
如果每个元素都是零向量，则规定其秩为。

有相同线性关系的向量组
定义：两个向量若有相同个数的向量：，并且向量方程
与同解，则称它们有相同的线性关系。
①对应的部分组有一致的相关性。
的对应部分组，
若相关，有不全为的使得
，
即是的解，
从而也是的解，则有
，
也相关。
②极大无关组相对应，从而秩相等。
③有一致的内在线表示关系。
设：，，则
即 ，
即 。
与有相同的线性关系即与同解。
反之，当与同解时，和的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩
定理：矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩
规定行（列）向量组的秩。
的计算：用初等变换化为阶梯形矩阵，则的非零行数即。
命题：的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式
1．
2． 是解
3． 有解

基础解系和通解
1．有非零解时的基础解系
是的基础解系的条件：
①每个都是的解
②线性无关
③的每个解
③/

通解
①如果是的一个基础解系，则的通解为
，任意
②如果是的一个解，是的基础解系，则的通解为
，任意

特征向量与特征值
定义：如果，并且与线性相关，则称是的一个特征向量。此时，有数，使得，称为的特征值。
设是数量矩阵，则对每个维列向量，，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。
①特征值有限特征向量无穷多
若，

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。
③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算

是的非零解
命题：①是的特征值
②是属于的特征向量是的非零解
称多项式为的特征多项式。
是的特征值是的特征多项式的根。
的重数：作为的根的重数。
阶矩阵的特征值有个：，可能其中有的不是实数，有的是多重的。
计算步骤：
①求出特征多项式。
②求的根，得特征值。
③对每个特征值，求的非零解，得属于的特征向量。

n阶矩阵的相似关系
设，是两个阶矩阵。如果存在阶可逆矩阵，使得，则称与相似，记作。

n阶矩阵的对角化
基本定理 可对角化有个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵，则

，
判别法则
可对角化对于的每个特征值，的重数。
计算：对每个特征值，求出的一个基础解系，把它们合在一起，得到个线性无关的特征向量，。令，则
，其中为的特征值。

二次型（实二次型）
二次型及其矩阵
一个元二次型的一般形式为

只有平方项的二次型称为标准二次型。
形如：的元二次型称为规范二次型。
对每个阶实矩阵，记，则是一个二次型。

称的秩为这个二次型的秩。
标准二次型的矩阵是对角矩阵。
规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。

可逆线性变量替换

设有一个元二次型，引进新的一组变量，并把用它们表示。
（并要求矩阵是可逆矩阵）
代入，得到的一个二次型这样的操作称为对作了一次可逆线性变量替换。
设，则上面的变换式可写成

则
于是的矩阵为

实对称矩阵的合同
两个阶实对称矩阵和，如果存在阶实可逆矩阵，值得。称与合同，记作。
命题：二次型可用可逆线性变换替换化为

二次型的标准化和规范化
1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。
也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。
设是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵使得是对角矩阵。
，
2．标准化和规范化的方法
①正交变换法
② 配方法
3．惯性定理与惯性指数
定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。
一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。
用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵合同于唯一规范对角矩阵。
定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。
实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。

正定二次型与正定矩阵
定义：一个二次型称为正定二次型，如果当不全为0时，
。
例如，标准二次型正定，
（必要性“”，取，，此时同样可证每个）
实对称矩阵正定即二次型正定，也就是：当时，。
例如实对角矩阵正定，
定义：设是一个阶矩阵，记是的西北角的阶小方阵，称为的第个顺序主子式（或阶顺序主子式）。

附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化

一．向量的内积
1．定义
两个维实向量的内积是一个数，记作，规定为它们对应分量乘积之和。
设，则
2．性质
①对称性：
②双线性性质：

③正交性：，且
3．长度与正交
向量的长度

单位向量：长度为的向量
，，，
若，则是单位向量，称为的单位化。
两个向量如果内积为0：，称它们是正交的。
如果维向量组两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。
例1．如果向量组两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。
证：记，则

则即。
例2．若是一个实的矩阵，则。
二．正交矩阵
一个实阶矩阵如果满足，就称为正交矩阵。
定理 是正交矩阵的行向量组是单位正交向量组。
的列向量组是单位正交向量组。
例3．正交矩阵保持内积，即

证：
例4．（04）是3阶正交矩阵，并且，求的解。
三．施密特正交化方法
这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。

设线性无关
①正交化：令

（设，
当时，正交。）

②单位化：令，，
则是与等价的单位正交向量组。
四．实对称矩阵的对角化
设是一个实的对称矩阵，则
①的每个特征值都是实数。
②对每个特征值，重数。即可以对角化。
③属于不同特征值的特征向量互相正交。
于是：存在正交矩阵，使得是对角矩阵。
对每个特征值，找的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。
设是阶的有个特征值（二重），（三重），（一重）
找的个单位正交特征向量。
找的个单位正交特征向量。
找的一个单位特征向量。

例5．（04）是阶实对称矩阵，，是它的一个二重特征值，
，和都是属于的特征向量。
（1）求的另一个特征值。
（2）求。
解：（1）另一个特征值为。
（2）设是属于的特征向量，则

此方程组，，，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。
于是，每个非零解都是属于的特征向量。
是一个解。

附录二 向量空间

1．维向量空间及其子空间

记为由全部维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为维向量空间。
设是的一个子集，如果它满足
（1）当都属于时，也属于。
（2）对的每个元素和任何实数，也在中。
则称为的一个子空间。
例如元齐次方程组的全部解构成的一个子空间，称为的解空间。
但是非齐次方程组的全部解则不构成的子空间。
对于中的一组元素，记它们的全部线性组合的集合为
，它也是的一个子空间。

2．基，维数，坐标

设是的一个非子空间（即它含有非元素），称的秩为其维数，记作。
称的排了次序的极大无关组为的基。
例如的解空间的维数为，它的每个有序的基础解系构成基。
又如，的每个有序的极大无关组构成基。
设是的一个基，则的每个元素都可以用唯一线性表示：

称其中的系数为关于基的坐标，它是一个维向量。
坐标有线性性质：
（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：
如果向量和关于基的坐标分别为和，则关于基的坐标为

（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：
如果向量关于基的坐标为，则关于基的坐标为。
坐标的意义：设中的一个向量组关于基的坐标依次为，则和有相同的线性关系。
于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。

3．过渡矩阵，坐标变换公式

设和都是的一个基，并设在中的坐标为，构造矩阵
，
称为到的过渡矩阵。
。
如果中向量在其和中的坐标分别为
和，则

于是关系式：

称为坐标变换公式。

4．规范正交基

如果的一基是单位正交向量组，则称为规范正交基。
两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。
设的坐标为，的坐标为，
则
两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。

做题思路
先化简再计算
例5．（03）设维列向量，。规定，。已知，求。
注意化简技巧（中间过程也很重要）
例13．（00）己知，求矩阵，使得.
证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明Ax=E ，
证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA
（从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点）
例20．设阶矩阵和满足等式，, 证明：

精品资料