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2019徐汇松江高三数学二模
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2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 试卷 2019.4
【考生注意】考试设试卷和答题纸两部分，所有答案必须填涂（选择题）或书写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设全集，若集合，则___________.
2. 已知点在函数(且)的图像上，则的反函数
__________
2、
3. 不等式的解为___________.
4. 已知球的主视图所表示图形的面积为，则该球的体积是 .
5. 函数在区间上的最小值为___________.
6. 若（是虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则圆锥曲线的焦距为 .
7.设无穷等比数列的公比为.若的各项和等于，则首项的取值范围是 .
8.已知点，是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队在每局赢
3、的概率都是，则甲队获得冠军的概率为________.（结果用数值表示）
10.已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是 ___________.
11.在平面直角坐标系中，设点，，点的坐标满足，则在上的投影的取值范围是 .
12.函数的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为在点列中存在三个不同的点，使得是等腰直角三角形.将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则=___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 满足条件（是虚数单
4、位）的复数在复平面上对应的点的轨迹是（ ）
（A）直线 （B）圆 （C）椭圆 （D）双曲线
14. 设，则“数列为等比数列”是“数列满足”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
15. 已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
16. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数,使得，则
5、称函数具有性质,那么以下函数：
①； ②； ③； ④中，不具有性质的函数为（ ）
（A）① （B）② （C）③ （D）④
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在△中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求和的值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图：正四棱柱中，底面边长为，与底面所成角的大小为，
6、是的中点，是上的一动点，
设.
（1）当时，证明：与平面平行；
（2）若点到平面的距离为，试用表示，并求出的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如下图：、两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为.机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒(注：信号每秒传播米).在时刻时，测得机器鼠距离点为米.
（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如
7、图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
对于项数为的有穷数列，若存在项数为，公差为的等差数列，使得，其中，则称数列为“等差分割数列”.
（1）判断数列是否为“等差分割数列”，并说明理由；
（2）若数列的通项公式为，求证：当时，数列不是“等差分割数列”；
（3）已知数列的通项公式为，且数列为“等差分割数列”.若数列的首项，求数列的公差的取值范围（用表示） .
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，，定义函数.
（1）设函数求函数的值域；
（2）设函数（为实常数）， ，当时，恒有求实常数的取值范围；
（3）设函数为正常数，若关于的方程(为
实常数）恰有三个不同的解，求的取值范围及这三个解的和（用表示）.
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