1、
浅水方程推导
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1. 浅水方程推导
将三维的基本方程沿水深积分平均，即可得到沿水深平均的平面二维流动基本方程。
定义水深为， 、为基准面下液面水位和河床高程
定义沿水深平均流速为：
引用莱布尼兹公式
自由表面及底部运动学条件
以x方向为例三维流动的运动方程沿水深平均为
非恒定项积分
对流项积分
首先将时均流速分解为，式中为垂线平均流速，为时均流速与垂线平均流速的差值。
式中，，是由于流速沿垂线分布不均匀而引入的修正系数，类似于水力学中的动量修正系数，其数值一般在1.02—1.05，可以近似取1.0，因此
类似，可
2、以得到
上几式相加，并利用底部及自由表面运动学条件可得
压力项积分
（莱布尼茨公式）
将代入上式后化简得：
扩散项积分
上式右边后两项分别为由底部创面阻力和表面风阻力引起的阻力项。式中，为无因次风应力系数；为空气密度；为风速；为风向与x方向的夹角。
最后运动方程写成张量形式为
2. 差分格式的稳定性与收敛性
两种误差
舍入误差：=有限精度的计算机上的解差分方程的精确解（稳定性）
离散误差=偏微分方程的精确解差分方程的精确解（收敛性）
（1） 稳定性分析
误差也满足差分方程。
求解稳定，则要求
Von Neumann（冯.诺依曼）稳定性分析
3、将某一时刻分布在网格点上的误差按Fourier级数展开，然后考察下一时刻各网格点上误差的Fourier分量是衰减还是增长，以判断差分方程是否稳定。
用一维热传导方程作为模型方程
差分显式格式：
假设误差随时间按指数函数的方式增长或衰减，即随时间按指数函数变化。
将其代入差分方程得：
称为放大因子
解不等式，即，得：
（2） 收敛性分析
收敛性是指当网格点空间趋于零时，差分方程的解无限接近于偏微分方程的解。
可以证明，当网格变细，并且时，有限差分方程的解收敛于给定的扩散方程的精确解。
由于收敛性问题的讨论在理论上证明较为困难（微分方
4、程较复杂时），关于收敛性问题比稳定性问题复杂得多，所以在此给出更具实用意义的定理，Lax等价定理，即，对于一个与线性偏微分方程相容的适定的初值问题的差分格式，稳定性是差分方程解收敛于微分方程的充分必要条件。也就是说对一适定的线性初值问题，相容性加稳定性等价于收敛性
3. 多维问题的常用差分格式
以二维扩散方程为例
（1）交替方向隐式格式(ADI)
基本思想是将差分计算分成两步：第一步在一个方向是隐式的，而在另一个方向上是显式的；第二步则是两个方向交换一下，即在第一个方向上为显式，而在第二个方向上为隐式。由于只在一个方向上隐式，求解时形成的方程组是三对角方程组，所以求解大为简化。
（2）时间分裂格式
基本思想是将多维问题分解为几个一维问题。
由taylor展开式得：
略去高阶无穷小得
分别令
显然这相当于解二个一维问题
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