高中数学必修4、5公式总结讲课教案.doc

高中数学必修4、5公式总结

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高中必修4、5公式定理及常见规律
1.三角函数
1.1终边相同的角
⑴与表示终边相同的角度;
⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;
⑶而与表示终边共线的角.
⑷终边相同的角的集合表示:或者
1.2特殊位置的角的集合的表示
位置
角的集合
在轴正半轴上

在轴负半轴上

在轴上

在轴上

在第一象限

在第二象限

在第三象限

在第四象限

1.3孤独之与角度制互化
（弧度）度
1.4扇形有关公式
⑴弧长公式:;
⑵扇形面积公式:(注 想象成三角形面积计算公式)
1.5任意角的三角函数定义
以角的顶点为坐标原点,始边为轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点到原点的距离记为,则.
1.6三角函数的同角关系
⑴商数关系: , 其中.
⑵平方和关系: ;
1.7三角函数的诱导公式
诱导公式（一）; ; ;
诱导公式（二）; ; ;
诱导公式（三）; ; ;
诱导公式（四）; ; ;
诱导公式（五）; ;
诱导公式（六）; ;
1.8特殊的三角函数值
角度

弧度
0

0

1

0
-1
0

1

0
-
-
-
-1
0
1

0

1

-
-1
-
0

0
1.9三角函数的图象与性质
函数

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
↗
↘
↘
↗
↗
对称中心

对称轴

无
2.三角恒等变换
2.1三角函数呵、差公式（要记住）
；
； ；
22三角函数二倍角公式（要记住）
； ；
2.3三角函数降幂公式（要记住）
; ；
2.4三角函数半角公式（要记住）
; ; ; ;
； ;
2.5辅助角公式(也称化一公式)（会用）

注 其中辅助角与点在同一象限,且;特殊情况:
,
2.6三角函数求值常见公式变形（会用）
⑴
⑵
⑶
2.7三角变换的一般方法
⑴角的变换:包括角的分解和角的组合,如
等.
⑵三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式;
⑶常值代换:如“1”的活用.等.
2.8三角函数化简、求值或证明的解题原则
基本原则:由繁到简、减名化角
函数种类最少、项数最少、函数次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.
3.解三角形
3.1正余弦定理
⑴正弦定理:,（其中为三角形ABC外接圆的半径）
变式:
⑵余弦定理: 变形公式:
⑶余弦定理的常见结论:
⑷判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为角角关系.若为最大边,
为锐角三角形; 是直角三角形;
为钝角三角形;
注 中,若,可以得出或;而,可以得出,即
3.2三角形面积公式
,、C
3.3三角形中常见规律
⑴三角形中的射影定理:在中,;
⑵在中,角、、成等差数列;为正三角形角、、成等差数列,边、、成等比数列.
3.4三角形中的边角关系
⑴角的关系:
⑵边的关系:
⑶边角关系:大边对大角、大角对大边
4.平面向量
4.1向量共线与垂直的坐标表示——设,
①则;
②则;
4.2非零向量、的夹角的计算公式

5.数列
5.1数列通项与前项和

5.2等差数列

等差数列
判定方法
⑴定义法:即证明;
⑵通项公式法:;
⑶中项公式法: 即证明;
⑷前项和公式法:
通项公式
⑴;

⑵;变形
增减性
⑴递增;
⑵递减;
⑶常数列
前项和
.
⑴当时,有最大值;通过解可得取最大值时的取值范围;
⑵当时,有最小值;通过解可得取最小值时的取值范围
等差中项
为、的等差中项;
性质
⑴为等差数列可用一次函数来研究;
⑵为等差数列可用二次函数来研究;
⑶为等差数列,若,则;
⑷为等差数列,若,则;
⑸为等差数列,则仍为等差数列.
⑹为等差数列,则是等比数列;

5.3等比数列

等比数列
判定方法
⑴定义法:即证明;
⑵通项公式法:;
⑶中项公式法: 即证明;
⑷前项和公式法:
通项公式
⑴;
⑵
增减性
⑴当或时, 数列{}是递增数列;
⑵当或时, 数列{}是递减数列;
⑶当时, 数列{}是常数列;
⑷当时, 数列{}是摆动数列.
前项和
.
等比中项
为、的等差中项;
性质
⑴为等比数列可用指数函数来研究;
⑵为等比数列,且;
⑶为等比数列,若,则;
⑷为等比数列,若,则;
⑸为等比数列,则仍为等比数列.
⑹为等比数列,则是等差数列;
6.不等式
6.1一元二次不等式的解集

判别式

二次函数()的图像

一元二次方程()
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
一元
二次
不等
式的
解集

不等于的所有实数
全体实数
（实数集）

空集
空集

6.2型和型不等式的解法
⑴型不等式的解法：
或;或.
这样，就将一个医院二次不等式问题归化为一个一元一次不等式组问题.
⑵ 型不等式的解法
与同解; 与同解.
6.3基本不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式

时,取
基本不等式

时,取
6.4极值定理——“一正二定三项等,和定积最大,积定和最小.”
已知、都是正数:
⑴若是定值,则当时,有最小值;
⑵若是定值,则当时,有最大值.
6.5不等式与线性规划
线性规划问题的解题方法与步骤
⑴设未知数,列出约束条件,建立目标函数;
⑵画出可行域（或不等式组所表示的平面区域）;
⑶作平行线,使直线与可行域有交点;
⑷求出最优解,并作答.
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