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第三章：连续时间线性定常系统时域分析
§3.1 系统的数学模型
LTI系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。
l R、L、C上的电压与电流关系——关系模型
¨ 电阻：

（3-1）
或

（3-2）

图3-1 电阻

图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压

¨ 电感：

（3-3）
或：

（3-4）

图3-4 电感上的直流不产生电压

图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流

¨ 电容：

（3-5）
或：

（3-6）

图3-7 电容上的恒压不产生电流

图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压

¨ 求和（相加）：

（3-7）

图3-10 信号汇聚流图
¨ 分支：

（3-8）

图3-11 信号分支流图
须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。
l LTI连续时间系统的状态空间模型：
例1：如图3-12电路
求：（1），（2）
解：列回路电流、电压方程：

消去i1、i2、i3，得下列方程：

图3-12 例1电路图

¨ 定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。
· 物理上，状态的维数dimX(t) = 系统中独立储能元件的个数
· 状态的选取可以不唯一
¨ 状态空间模型：
（状态方程） （3-9）
（观测方程/输出方程） （3-10）
其中，V(t) = ，为输入向量（r维）
X(t) = ，为状态向量（n维）
Y(t) = ，为输出向量（m维）
(t) =

图3-13 系统的状态空间模型
¨ 方程的解为：
X(t) = eAt X(0) + B V(τ) dτ （3-11）
Y(t) = CeAt X(0) + CB + DV(τ) dτ （3-12）
若V(t)、X(0)已知，则X(t)、Y(t)确定。
注：（3-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应；
（3-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。
l LTI系统的微分方程模型：
具有n个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：

已知输入V(t)、输出初值，求y (t) = ？
求解步骤：
（1）求齐次解：由微分方程列特征方程，求出n个特征根，则齐次解为，有n个待定系数；对于k重根，其所对应的齐次解为
（2）求特解，根据输入信号形式确定；其中待定系数可将特解带入原微分方程通过同类函数对应系数相等来求得。

激励e(t)
响应r(t) 的特解形式
E（常数）

注：① 表中B、D为待定系数；
② 若e(t)由多种信号线性叠加而成，则特解也为相应的叠加；
③ 当表中的特解与齐次解相同时，则乘以表中特解作为特解。例如，，而特征根也是，即齐次解为，则特解为；若是k重根，则特解为。
（3）全解=齐次解+特解，代入n个边界条件，求出第（1）步里的n个待定系数。这里所谓的边界条件视具体问题而定，见下节“初始条件”的讨论。
l LTI系统的系统算子模型：
¨ 令：，则微分方程模型化为算子模型：

令：
有：

有：
（3-13）
其中， 称为系统算子，它对信号的作用不是相乘的关系。
¨ 注意三点：
· 与的公因式一般不可相消
例如：。
· 与的顺序一般不可交换
例如：，而
· 不同的物理系统，输入—输出方程可能相同，但含义不同
¨ 对因式分解，基本单元为。对输入作用产生输出，即，齐次解；对于输入，其特解为，单位冲激响应为，则。综上有：

（3-14）
由（3-14）式可进一步推得下面的（3-19）式。
§3.2 LTI系统的响应
l LTI系统的微分方程：

先来关注几个重要概念：
¨ 起始状态（状态）：，简记为Y(0-)
¨ 初始状态（状态）：，简记为Y(0+)，亦称为初始条件
¨ 一般地，Y(0-)≠Y(0+)，这是因为有了输入的激励作用。
¨ 零输入（zero input）响应：无外加激励信号的作用，即≡0，由起始状态Y(0-)≠0所产生的响应；此时，Y(0+)=Y(0-)。
¨ 零状态（zero state）响应：起始时刻系统储能为0，即Y(0-)≡0，由系统的外加激励信号所产生的响应；此时，系统储能将发生变化，可能瞬间发生跳变，即Y(0+)¹ Y(0-)=0。
下面讨论系统在的输出，表示所求的响应从0+开始。
l
l 零输入响应

，Y(0-)≠0
（3-15）
　　特征方程：

（3-16）
　　特征根：

（3-17）
　　在无重根的情况下：

（3-18）
有k重根a1时，对应这个重根的解有k项，。
其中由初始条件Y(0+)=Y(0-)≠0代入求得。
注意：无外界输入，仅靠初始储能不为零而产生的输出必然随着时光的流逝而衰减到零！只是衰减的快慢不同而已。那么衰减的快慢取决于什么呢？请大家思考它取决于什么因素，我们将在系统模态分析章节里作深入讨论。
l 零状态响应：Y(0-)=0，

（3-19）
此式不难从本讲义（3-14）式推得。特征根符号故意取反了，呵呵……。

\ 齐次解项＋特解项
（3-20）
注意：
① 特解反映了输入对输出的胁迫——小子哎，跟老子走！
② 在输入激励下，Y(0+)≠Y(0-)=0，由Y(0+)带入（3-20）式确定；齐次解项由输入激发系统的特征根而产生，且当特征根小于零时都衰减至零。
由于输入的激励，系统在[0-，0+]瞬间建立了初始储能，从零起始状态变为“非零”初始状态。我们所关心的是系统在tÎ[0+, ¥)区间的响应，须将Y(0+) ¹ Y(0-)的初始值代入到（3-20）式里求待定系数。这一点在解题时常被混淆。
l 系统响应（一般情况）：
① 列些电路的微分方程：根据电路形式，列回路方程，整理得到微分方程。
② 求出系统的完全响应：齐次解（含待定系数）+特解。
③ 确定完全响应中的待定系数：根据系统的0-状态求出0+状态，作为条件列方程求解待定系数。求解0+状态可以利用“无冲击电流，电容电压不突变；无冲击电压，电感电流不突变”，结合电路进行求解；另外可以使用冲击响应不变法求解，是一种数学方法，避免了电路分析的过程（见后面）。

l 起始状态到初始状态的求解方法——冲激函数匹配法：
系统初始状态可能不等于起始状态，Y(0+)¹Y(0-)。这种从0-状态到0+状态的“变化”，是由输入引起的。若输入含或其各阶导数，则0-到0+存在状态“跳变”。
冲激函数匹配法是用来从起始状态求初始状态的数学技巧，其原理是t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数平衡匹配。使用时须注意以下两点：
（1）与的区别：是从0跳变到1；而是从e 跳变到e+1，e≥0。
（2），则有；
，则有；
，则有。

l 系统响应：分解为零输入响应与零状态响应之和：
l 系统响应：分解为自由响应与强迫响应之和：
系统响应＝{齐次解＋特解}|带入Y(0+)≠Y(0-)求得待定系数Ai (t≥0)

自由响应 强迫响应（受迫响应）
（瞬态响应） （稳态响应）
系统的自由响应由特征根（对应与第四章将要研究的系统的极点）决定，是系统自身的属性，故亦可形象地称为自有响应。它包括两部分：一部分由起始状态（初始储能）通过极点引发，构成零输入响应；另一部分由输入激励通过极点激发。二者都使系统的“本色”得以展现，形成输出。
强迫响应则只与激励信号有关，而与系统极点（本色）无关。
综上讨论，我们有下列系统响应的分解表达式：

由上式可见，自由响应包括两部分：①零输入响应部分，由起始状态引发；②零状态响应部分，由输入信号引发。一般地，特征根为负，自由响应将趋于零，称之为瞬态响应。而强迫响应将跟随输入信号而变，称之为稳态响应。
l 非零状态线性系统：
可以想见，当系统起始状态为零，即X(0-)＝0，则系统是LTI的。
如果起始状态非零，即X(0-)≠0，则由于响应中零输入分量的存在，导致系统的全响应对外加激励信号不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，是非线性的、时变的系统。此外，响应的变化不只是发生在激励信号加入之后，因此系统也是非因果的。
那么，系统在非零状态时，怎样讨论其线性属性呢？
¨ 定义（非零状态线性系统）：系统T的起始状态为X(0-)≠0，
V(t) ® ® Y(t)
系统状态X(t)、X(0-)
T
若 ，
即，起始状态x(0-)和输入v (t)引起状态x(t)和输出y(t)的演化，且有

（3-21）
此时称T为非零状态线性系统。
¨ 非零状态线性系统的分解：

即：非零状态线性系统 = …… = 零状态系统 + 零输入系统
即：非零状态线性系统，是零状态线性系统与零输入线性系统的叠加。
推论：线性系统响应＝零状态响应＋零输入响应。
§3.3　LTI系统的冲激响应与阶跃响应
l 定义（冲激响应）：输入为单位冲激函数时的零状态响应。

（3-22）
l 定义（阶跃响应）：输入为单位阶跃函数时的零状态响应。

（3-23）
l 与的关系：（可通过图示推导）

（3-24）

（3-25）
l 求的步骤：

（算子作用）
若：degN(p) = degD(p) + q，q ³ 0，且不存在零极相消时，
则系统算子可分解为：

，
而：degE(p) < degD(p)

（3-26）

§3.4　卷积
卷积由欧拉（Euler）、泊松（Poisson）发明，由杜阿美尔（Duhamel）发展。
由本讲义第一章（1-77）式可知，零状态LTI系统的响应，正是单位冲激响应对输入信号的卷积变换。
下面给出卷积运算的一般定义，并讨论信号卷积的性质。
l 定义（卷积）：对任意两个信号，两者的卷积运算定义为：

（3-27）
l 性质：
假设：，是绝对可积函数的全体。
代数性质：
¨ 可交换性：

（3-28）
¨ 可结合性：

（3-29）
¨ 线性：

（3-30）
¨ 定义（范数，Norm）： 为的范数。
易有：

（3-31）
证明：

¨ 与冲激函数的卷积：

（3-32）
¨ 冲激函数的范数：

（3-33）
注：既非黎曼积分（Riemann integral），亦非勒贝格（Lebesgue integral）积分。参见本章附录。
拓扑性质：
¨ 微分性质：

（3-34）
¨ 积分性质：

（3-35）
¨ 与冲激偶的卷积：

（3-36）
用广函导数性质或（3-32）、（3-34）两式均可推得此结论。且可知：

（3-37）
¨ 与阶跃函数的卷积：

（3-38）
例2：如图3-14
求：

图3-14 例2图
解：

图3-15 镜像、移位

图3-16 有重叠移位的三种情形

The End

本章重点与难点
状态及状态的维数 ***
LTI系统的微分方程模型 ****
LTI系统的算子模型 *****
LTI系统算子方程求解，求h(t) *****
从起始状态求初始状态 ***
LTI系统响应的分解 ****
LTI系统自由响应和强迫响应的求解 ****
LTI系统零输入、零状态响应的求解 *****
卷积的性质 *****
熟练求解两函数卷积 *****

附录：
黎曼积分（Riemann integral）
【基本要求】
　　简要回顾黎曼积分的定义及可积条件，用测度的观念给出了函数黎曼可积的一个充要条件。通过学习，要了解一个前所忽视的重要结论：函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续。
【主要内容】
　　定义1：设在有界，表示的任一分划：，这里，n为任一自然数，可随而不同。设分别表示在上的上、下确界，i = 1, 2, …, n，

分别叫做关于分划的大和数（达布上和）与小和数（达布下和），这里
，上和的下确界（积分号上横线）
，下和的上确界（积分号下横线）
分别叫做在上的达布上积分与达布下积分，这里上、下确界是对的任意分划而取的。如果
　　 （*）
（一般地，有）
则称在上可积，并称此积分值为在上的积分，记为。
注：积分符号上、下的横线“-”，是一个记号，并非表示积分上限为-b、下限为-a。
例如，狄利克雷（Dirichlet，狄利赫莱）函数D（x），它在中的有理数点上取值为1，在其余点取值为0，则D（x）在上有界，但（*）式不成立，因此（R）不可积，但（L）是可积的，积分值为0。
　　两种积分定义的等价性建立在下面的定理上。
　　达布定理　当分划的最大区间长时，
　　（上和趋于下确界）；（下和趋于上确界）
　　由数学分析知识可知，在上可积有下列条件：
　　可积条件1：当时，

这里
　　可积条件2：
　　我们还可给出下面的条件：
　　可积条件3 在上的所有不连续点构成零测度集。这是一个充分条件，不是充要条件。
　　注意 条件1、2的缺点是没有将函数的可积性最后归结到函数的其它内在性质（如连续性等）上面去。可积条件3要好得多。
　　但是，R可积有以下局限性：
　　1．积分与极限可交换的条件太严
　　由数学分析的知识知道，一般要在一致收敛的条件下，积分运算与极限运算才可以交换顺序。
　　2．积分运算不完全是微分运算的逆运算
　　鉴于Ｒiemann积分的局限性，人们长期以来致力于改进，直到1902年法国数学家Lebesgue才成功地引入了一种新积分，后人称之为Lebesgue积分。由于它在很大程度上摆脱了Ｒ积分的局限性，而且大大地扩充了可积函数的范围，所以今天已成为分析数学中不可缺少的工具。
勒贝格积分（Lebesgue integral）及其性质
【基本要求】
　　本节对定义在测度有限的可测集上的有界函数定义了勒贝格积分，并给出了可积的一个条件和它们的四则运算性质。通过学习，要了解，函数勒贝格可积与可测是等价的，黎曼可积函数是勒贝格可积的，并且其积分值相等。
【主要内容】
　　定义1　设是非空可测集，如果，其中为互不相交的非空可测集，则称有限集合族是一个可测分划，简称分划。是的另一个分划。如果对于任一，存在，使，称比细。
　　引理1　给定任两个分划、，必存在比它们都细的第三个分划

　　记为：
　　显然合乎要求。
　　定义2　设是定义在测度有限的集上的有界函数，对的任一分划，
　　令，
　　则，分别称为关于分划的大和、小和（它们由完全确定）。mEi是Ei 的一种测度。
　　引理2　（1）设，，则

　　　　　 （2）设分划比细，则，
　　　　　 （3）对于任两个分划与，总有，，
　　　　　 （4），这里上、下确界是对的所有可能的分划取的。
　　证明：由定义很容易证明这些结论是显然的。
　　定义3 设是定义在测度有限的集上的有界函数，记

分别称为在上的上、下积分。
　　如果，则称在上可积，且称此积分值为在上的积分，记为。
　　由以上有限可测集上有界函数的积分定义，可看到它在形式上同积分完全类似。除了积分区域更一般外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同，即那里的区间在这里一律换成了可测集。
　　因此，有下面类似的结论——性质。
　　定理1　设是定义在测度有限的可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件为：
　　对任何，存在的分划使得：
　　，这里
　　定理2　设是定义在测度有限的可测集上的有界函数，则在上可积的充要条件是在上可测。
　　定理3　设，是定义在测度有限的可测集上的有界函数，且可积，则
，，（但在上是可积的。
　　证明：略。
　　定理4　设在上可积，则它必同时可积，且有相同的积分值。

　　证明：首先是有界的，其次在上可积，则必几乎处处连续，从而可测，因而可积。最后由积分的定义知道其值是相同的。
　　注意　定理4的逆定理是不成立的。例如，在上的狄里克雷函数不是可积的，但作为简单函数是可测的，从而是可积的。

The End