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八年级数学一元二次方程复习进程.doc

1、 中考网 第2章一元二次方程目录2.1 一元二次方程(1)22.1一元二次方程(2)42.2一元二次方程的解法(1)62.2一元二次方程和解法(2)82.2一元二次方程的解法(3)102.3一元二次方程的应用(2)142.1 一元二次方程(1)教学目标1、经历一元二次方程概念的发生过程。2、理解一元二次方程的概念。3、了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项。教学重点与难点教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式。教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点。教学过程一、 合作学习1、 列出下列问题中关于未知数x的方程正方形的面积为80,边长为

2、x,则可列出方程 。某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少?设年平均增长率为x,则可列出方程 。二、 引入新课观察方程x2=80 和两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)练一练:1、判断下列方程是否为一元二次方程: 2(3x+2)=x2 +x+3=0 2、判断未知数的值、是否是方程的根。一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(、为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中、分别称为二次项、一次项和常数项。、

3、分别称为二次项系数和一次项系数。思考:为什么,、可以为零吗?三、范例讲解:例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项。 解: 移项,整理,得这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为。我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项。四、练习巩固:1、方程 中是一元二次方程的为 (填序号)。2、关于的一元二次方程的一个解是,

4、则 3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。 ( ) ( ) (3 , 1) ( ) () ( )五、小结:1、 记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程;2、 化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项;3、 能判断的值是不是方程的解。 作业:见作业本2.1一元二次方程(2)【教学目标】1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点:用因式分解法解一元二次方程.教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点.【教学过程】一. 复习引入1、将下列各式分解因

5、式:教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗?请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视.之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。(板书课题)二. 新课学习1、 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤:教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书) 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零; 将方程的左边分解因式; 根据若MN=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。2、讲解例2.(1)解下列一元二次

6、方程:教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”,而不能用且。(2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左、右两边,等式成立吗? (3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型:先变形成一般形式,再因式分解:移项后直接因式分解.在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式。2、 讲解例3.解方程在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现

7、两个相等的根,教师要做好板书示范。3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗?首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0。三、巩固练习:课本第32页课内练习。四、体会和分享能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗?先由学生自由发言,教师再投影演示:1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为零;(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次

8、方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0.4、用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5、数学思想:整体思想和化归思想.五.课后作业1.书本作业题2.作业本【板书设计】屏幕2.1一元二次方程(二)因式分解法解一元二次方程1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为零;(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;(3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是

9、原方程的解. 2. 数学思想:整体思想和化归思想.2.2一元二次方程的解法(1)【教学目标】1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2. 会用开平方法解一元二次方程.3. 理解配方法.4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点:开平方法.教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度.【教学手段】用多媒体powerpoint和黑板的形式。【教学过程】 (一)引入新课问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约A

10、C=5千米。请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米?从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。 (二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根。 如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念。 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1、它适合于什么样的方程?(左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 )。2:用什么样的方法来解?(方程的两边直接开平方的方法)然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既

11、突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。例1、(1 ) (2) (3) (4)通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察、变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程。(三)、问题2:把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数。1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边。2:方程两边同加上一个合适的数。3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数。4:最后用开平方法来解即可引出配方法的概念。像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次

12、方程的方法叫做配方法。然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里?(就是如何在方程左、右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方。)为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出。即突破本节课的难点。(1)(2)(3)最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方;2:前提条件:二次项系数为1例2、 (1) (2)再次总结:形如(二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程。具体的步骤有:第一:移项。第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方。第三:再用开平方法来解方程。(四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办?为下节课的教学打下了基

13、础。例3、一、 课堂小结让学生回答1:用开平方法、配方法解一元二次方程的概念。2:用这两种方法解方程时,方程的特点。3:用这两种方法解方程时的步骤。4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项。六、布置作业。2.2一元二次方程和解法(2)【教学目标】1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程.【教学过程】一.复习旧知用适当的方法解下列方程: 1、(x-2)2=3 2、 x2+3x+1=0 请学生上来板

14、演,老师点评归纳。二.新课讲授1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解?经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答。教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就转化为我们已经能解决的问题。即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。2.讲解例题例3:用配方法解下列一元二次方程(1)2x2+4x-3=0(2) 3x2-8x-3=0评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入,先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答,并板书过程,同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较,学生

15、容易发现,两个方程同解。再把6x改成4x,并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解?从而把问题化归。(2)本例中两个小题的解法是相通的,在讲解时,需要让学生明确配上去的值到底应该是多少,即解决的一半是多少这一问题,常用的解决方法是把该数乘以。教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时,一般步骤为:(1)x2+px=-q(移);(2)x2+px+() 2=-q+() 2(配);(3)(x+)2= (化);(4)解得x=- (解)2、当二次项系数不为1时,则在 “移”之前先要有个“除”,即两边同除以二次项系数,使二次项系数为1.练习:用配方法解下列方程1.2x2-7

16、x+5=02.-3n=13.x2-x-=0练习:一个长方形牧场的面积为8100平方米,长比宽多19米。这个牧场的周长是多少米? 三:小结1. 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程。2. 本课时的难点是对二次项系数的处理。四:布置作业课本”“作业本”及习题精选中对应的练习。2.2一元二次方程的解法(3)【教学目标】知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程能力训练点:1通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性2培养学生快速而准确的计算能力.德育渗透点:1通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识2让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法

17、去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感【教学重点与难点】教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.【教学过程】(一)复习引入1用配方法解下列方程(1)x27x110,(2)9x212x14(通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫)2用配方法解关于x的方程 x22pxq0解:移项,得x22px-q配方,得x22pxp2-qp2即(x+p)2p2-q (教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫)3用配方法推导出一元二次方程ax2bx

18、c0(a0)的根解:因为a0,所以方程的两边同除以a, a0, 4a20 当b24ac0时从上面的结论可以发现:(1)一元二次方程a2+bx+c0(a0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b24ac0的前提下,把a、b、c的值代入上式中,可求得方程的两个根的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法(二)师生互动,应用新知 互动1 师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式中,要求b2-4ac0,那么b2-4ac0时会怎样呢? 生:当b2-4ac0时,没有意义,此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)无实数解

19、明确: b2-4ac0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件当b2-4ac0时,此方程无解,也是判断一元二次方程无解的一个前提条件 互动2.例1 用公式法解一元二次方程:x23x20 解: a1,b-3,c2又 b24ac(-3)241210, x1=2,x2=1在教师的引导下,学生回答,教师板书,提醒学生一定要先“代”后“算”不要边代边算引导学生总结步骤 1确定a、b、c的值2算出b2-4ac的值3代入求根公式求出方程的根 例2不是一般形式,所以在利用公式法之前应先化成一般形式,另外注意例2中的b24ac0,方程有两个相同的实数根,应写成x1

20、例3用公式法解一元二次方程:(1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x10其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b24ac0,方程无实数根.明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:(1)把方程化为一般形式,确定a、b、c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac0,把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;若b2-4ac0,此时方程无解练习:P35课内练习1。熟悉公式法的步骤,训练快速准确的计算能力 互动3 请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方

21、法,通常你是如何选择的?请同学们交流,教师鼓励发言明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法(1)当方程形如(x-a)2=b(b0)时,可用直接开平方法;(2)当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3)配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;(4)公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式练习:P35课内练习2。合理选择解法 (三)达标反馈,深化新知 (1)用公式法解方程4x2+12x+3=0,得到 (A) Ax= Bx= Cx= D

22、x= (2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根,则k的取值范围是 (3)不解方程,你能说出下列方程解的个数吗:x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0, (四)总结及布置作业引导学生从以下几个方面总结:0)(2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:化方程为一般式确定a、b、c的值算出b24ac的值代入求根公式求根公式法与配方法都是通法,前者较之后者简单2.求根公式是指在b24ac0对方程的解,如果b2-4ac0时,则在实数范围内无实数解渗透一种分类的思想2.3一元二次方程的应用(2)【教学目标】1. 继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方

23、程解应用题的应用价值2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.【教学重点与难点】教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用.教学难点:合作学习的问题教为复杂,计算量大,是本节的难点.【教学过程】1复习提问,(1)列方程解应用题的基本步骤?答: 审题;找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量;找出所涉及的基本数量关系;列方程;解方程;检验2新课讲解,列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题而我们今天要解决的就

24、是根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题如图2-4,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2-5那样的无盖纸盒若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少?分析 设纸盒的高为x (cm),那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm,就可以列出方程解设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm由题意,得 化简、整理,得 解这个方程,得 (不合题意,舍去) 答:纸盒的高为5cm.接下来,同学们来做一下课内练习题

25、 围绕长方形公园的栅栏长280m已知该公园的面积为4800,求这个公园的长与宽解:设公园的一边长为x(m),则另一边长为(140-x)m,由题意,得 化简、整理,得 解这个方程,得 答:略。合作学习:一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6),在途中接到台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区当轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300km.(1) 如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区?你采用什么方法来判断?(2) 如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到报警开始,经过多少时间就进入台风影响

26、区?建议:假设经过t时后,轮船和台风中心分别在cb位置;运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程;通过相互交流,检查列方程,计算等过程是否正确;讨论:如果把航速改为10km/h,结果该怎样?提示:几何画版给出演示;若从接到台风警报开始,经过t时,轮船到达C点,台风中心到达B点,那么船是否受到台风影响与什么有关?当BC符合什么条件时船受到台风影响?你能用关于t的代数式表示B,C两点之间的距离吗?你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗?解答(略)练习(1) 练习:P40课内练习2 (2) 补充练习:P40-作业题5 二、 课堂小结:体会如何根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题。从中学到了什么? 三、 作业 :课堂作业本 中考网

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