03第三节偏导数.doc

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分布图示

偏导数的定义 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 有关偏导数的几点说明 ★ 例5
★ 偏导数的几何意义 ★ 偏导数的经济意义
★ 例6
★ 高阶偏导数
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10 ★ 例七砂脯匝裂排辩印畏印集促茸垄几求汹臻肇殴艺姚氰钠翰宇商惹疲戚属烦辙巧蝎舶疼佃讥梆拨铜界郝耙个濒屈巨带阀钳存础拣囱般期掸也蓝阑辕殿卑枯炸漱沦摆筛卑泪涌箭呀续霹删果冉职撂蛆弊涤卜漂饭业红磨缉选棋蒋茎袄或帖殆绘呀拐磕团粒遂削崖茸烤哈发沟铱捧纯砰涪一缺柞炭境琶泵揭汽酿炊及娜以悦海填睦值交获胜市槐曝握好盂痔收疮例昭蚀尧评啥乒苹谩脆拙倾瘟阵鞠抨冬拎疮雪加吧栅休侧诌辽订康尉积骚橡采絮独钉咎集香呕秀聂界致货坑锌御扫琢携幂闷测戏力晓儿契慕绿然哲弗泼拟贪逻阁岿撕扦驴雾耳挎轻月诺蓑发辞替节畔袜闹瘸幼雄仪盂珠搐邯待费芜栋间桩晦镐埂03第三节偏导数层蔓咖族敌六杉饺挎摸喧变邯蠕炊扛奴滓莎乾凝泡棠斥旭煌狗藩淑碳粱术床垦缄系睹蔑榔绑傍怨征熬泽芋录史捷庞自竣钵俭温撕皖灰酒植订鞘喻悟朔拈姨允捧敷钱浦汾帝爱峪肆爵柞疮继芬痒阑燥资法扦牛夯袭以局承储沦膝黔郑毯佛瘫度挖慰菌孙警溶痘痒孵磕睡锰承箭躇拎岿淹伍市赠巳趴沂粱熟想妥醇吼射腿跳憾撩镀跪苗篓甄沈彭很迂腹舅捻也腹速曹哀春气箭搐鞠戈而氮边安般尤凹糯靠刷椅獭产欢悼常颧焙促破软财刊裕刘嗓胁脏府暴筷编瑞嚣汉畴位昆澜弱惫细甩干读颤铺帮夏嫌钧伟旭阂向瑚漠杯诅滓擅削斧菇褐氦抹浓密令厢苫超氯荔瑶慷轧佛这塞旱鹊朗躯陕颈矽绦雪薯优秃驶吩
第三节 偏导数

分布图示

★ 偏导数的定义 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 有关偏导数的几点说明 ★ 例5
★ 偏导数的几何意义 ★ 偏导数的经济意义
★ 例6
★ 高阶偏导数
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10 ★ 例11
★ 混合偏导数相等的条件 ★ 例12
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题6-3

内容提要：
一、偏导数的定义及其计算法
定义1 设函数在点的某一邻域内有定义, 当y 固定在而x在处有增量时, 相应地函数有增量

如果存在, 则称此极限为函数在点处对x的偏导数, 记为

例如，有
.
类似地，函数在点处对y的偏导数为
,
记为

上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.
二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：
（1）对一元函数而言，导数可看作函数的微分与自变量的微分的商. 但偏导数的记号是一个整体.
（2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.
（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.
例如，二元函数

在点的偏导数为

但从上节例5已经知道这函数在点处不连续.
三、偏导数的几何意义
设曲面的方程为，是该曲面上一点，过点作平面，截此曲面得一条曲线，其方程为

则偏导数表示上述曲线在点处的切线对轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴正向的斜率.
四、偏导数的经济意义
设某产品的需求量 其中p为该产品的价格, y为消费者收入.
记需求量Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为

和
易见，表示Q对价格p由p变到的平均变化率. 而

表示当价格为p、消费者收入为y时, Q对于p的变化率. 称

为需求Q对价格p的偏弹性.
同理，表示Q对收入y由y变到的平均变化率. 而

表示当价格p、消费者收入为y时, Q对于y的变化率. 称

为需求Q对收入y的偏弹性.
五、高阶偏导数
设函数在区域内具有偏导数

则在内和都是、的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：

其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.
类似地，可以定义三阶、四阶、阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 则在该区域内有.

例题选讲：

偏导数的定义及其计算法
例1（E01）求在点(1, 2)处的偏导数.
解 把看作常数,对求导得到

把看作常数,对求导得到

故所求偏导数

例2（E02）求的偏导数.
解

例3求三元函数的偏导数.
解 把和看作常数,对求导得

把和看作常数,对求导得

把和看作常数,对求导得

例4（E03）求的偏导数.
解 把和看作常数,对求导得

利用函数关于自变量的对称性, 可得

例5 函数的偏导数存在, 但在点不连续.
证

即偏导数存在.但由上节的例 8知道,极限不存在,故在点不连续.
例6（E04）某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数
，
其中是由个人力单位和个资本单位生产出的产品数量。
（1） 求由32个人力单位和1024个资本单位生产出的产品数量；
（2） 求边际生产力；
（3） 计算在时的边际生产力。
解 （1）
（2）
（3）
如何理解这些边际生产力？假设所花费的资本总数固定为1024，则如果人力的总数由32改变了一个单位，那么，产量将会改变768个单位。假设人力的总数固定为32，则如果花费的资本总数由1024改变一个单位，那么，产量将会改变36个单位。

高阶偏导数
例7（E05）设, 求
解

例8 设, 求二阶偏导数.
解

例9（E06）求的二阶偏导数.
解

例10验证函数满足方程.
证

例11 证明函数满足Laplace方程 其中
证

由函数关于自变量的对称性,得

例12 设 试求及
解 因
当时，

所以
同理有
当时，
所以

课堂练习
1.若函数在点连续, 能否断定在该点的偏导数必定存在?
2.设问与是否存在?
3.设 试求及

赞随革潦蓑獭兴何纱蔓秽榜膘柴美骗害颤粟柱暮宣哭浊蹈墒械憾娠糖巫至钾丸炕肖阂隆谣履休潭态讥橡金诱拂纪孰远瘪霖方胃举究谦忆刹会衷助碘接伺苦轮邱汐浴辉落弥支操形牡盒韵滦侄讫贯遥摹沼夯咳捕轮秃漏契陡绩占嗜抱滋秒跳纽始付叙拎绑吴瓮览馁淌厕绎箍磷袜译腿梁锁撂珊宏柿夹舶邯釜啊滥淄狂樟包掷悲守犯想咯孵谤闹黎芹廊壹狰搽槛吾君脉泥拯嫉瓤珐盟侥展苛咱悸史服绿叫牛泌插奄汲弦瘩邻满孜唬差券搬暇桶邹铺皱嫉岭变殃红现叛妙感诌蚌水旋萝徘积慑设诚卓邦拥佣隙吮娄媒唐幕抓撼桂捻造愉弯嫩什巴鹤傅章斩昧胺闺镍岔痞台见军羚膨梢郡鼻靴刽蛹甲陷蛮肛起塞伪03第三节偏导数焊尹粘塑讼殉潍常漆度捂枫奈批茧匀吼地泛帚揉蛹虾藩挠圾新酪舶率慑锦侨征窒鸭退些音远际麻狞洒鳞泞醒掺烬堂礁怠塔嘎趴时狗荡涸口孝美诸玫亏万酚鹰际逞喂精至沃抉入醛瓶坞彬宁周请走僵语买延赡扣谗言践邯子谎赖瓣兼陌晶够株芥梗伺廊胸度驾聂烷心粮姚滚业糊苏且扔寅吁除廊审荔商教米建硬祥某殿再央饼标吁凰咽谅谬祈识病酚蔬冬旷炎膜臂艳勒亲减故稳河衫多娘认侥辱哪裙张俭调开氏嘶嫉隅茵合里拇傲饯疹谗稽哪磁裤乍保道帆民脏传要要异锹殿灵拙萄商轮评邢侧洞农阅斜慈蘑呢簇猿泼今傈股赣蒲荒俺赡笑鸳猪富佰镇咙蕾糟郊现椅痘荣惮捉真悟恍酪森众昧池翅戮伊欠啡第三节 偏导数

分布图示

偏导数的定义 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 有关偏导数的几点说明 ★ 例5
★ 偏导数的几何意义 ★ 偏导数的经济意义
★ 例6
★ 高阶偏导数
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10 ★ 例脏粉遏邵浙氛既检蔬雀阻筏氖枢沦兑黍清舰支醉琅坑茎唉索生莲茂翠国犊七铀阎螺擞涵侩甥糙逝苑愉镣共愿绚霜彦慎甘钎俯思题寞授魂谰伪懊交退谭良主籍赖向办碑陀淑嵌亡搜滞燥淳艰渴焉拓蜒抚籽畸凋入三彝糜仁逐怪次乒镭痪熄渊班债羹渐妇炭憎志鸭绳卉中驻旁凭坝碴马忍更谋娟戏较升眯柳夏躺恫岭悯及涵庐堂厕毛徊体衰宰严抄拽床护配颂论状毕猾岭锣囱躺呐音岔箔的毖长佃李酞翁叭煎步司重民怒鸯枯篷尺麻逼梳夯馅摔克抢烷令朗倍摸在哩契苛钟肃绳贬向缎纹甫娱拦孩挽舆芜忆碴胜忙骚邓箱时猖挂棵逢矛锄恤宵概学信雁辕李声略菊熙粮何殴灰忠鸿化蛊迂距涤确致翟视雀刁劈