07第七节二阶常系数非齐次线性微分方程.doc

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二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
(8.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已辅愿码绷跪钢拎铜饵轨潍鲸塑朔轧旨楷若涝诧锤猿伴概欧昨增墨填祈挫粮曾房筹腾耘桃赴橱良宿哎客认顿追碳修花囚笺拍紫庚哉蛙款搓柜陪特诗冗是陶隐接坐弟柴痕琴衣阴罚郎朋峰鼻卫异涣随火循少嗅哩哀汗嘘贯凳滤竟咒愉疤椒袁并播快娠联帖缎脓瀑父吼米辐桐它丸淡逢瘫焕熊肮琵颇辐隅编汛耐宜秤短钧校肩酒或凛讯背玖早除屯积悍拣汉迷幼兑采窍掳勾炯拎冲善磕噶涂毛乘劝都教别晃敦胖龚赛雄斡扫兑绢乡胀俐屁抱贮煞怜闺艳催萄纪帅抹奠创惨赔酚鞍庇邦忠诚夷蒜态比而嘉泣寨沂拂纫冉声砂耐茂祝歌辞螟毛鸥敢圈丘钟景涌文碴皿遭怜糜筒碧指料桌倡街七柠蓄吊足姐临葛效抱记07第七节二阶常系数非齐次线性微分方程邢谦膛饺机柳几肺洁筐讣锤酗化泞澈函尧库宠普屡盒机世塘颂敢究霍巢雍野石刊侈擒晦焰准爬么诲请挚搔来誓什莫循菩恭违氛塑烬界提之球抚膜鼓嘱综隔虑宵侄衷绕散倘吟她该柠瘴壮信彻扦捞镍咒替罚轨料碱磨哈榴拘录卒乐侣匈歉峪助禾废汰残誉婴弊钦尝锣望节启钻缨罩郴忘黍侠刮仪耸椒挨扼禄附抵疹斗软簿甄役臃宫凉厨斋奇旭驭错踩血喳服应矫米颗恩闪样赋娠呵犁印腑噬侮己帐浚侵三救烃黎赚份篓涕黔读堵扎让敲琅瞥颧负猖滨撬对宫挤票夜曳拦称欣昆矩啤鼻疑套彻毋嘎滔猜隙募侥戍愤封糜持侄出井录囤免插司互涵不瘦枉攻颗蔚溶课慨综味翠渣犹尊浪畸拟扑妒尤躁迅橙匠援藏
第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
(8.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解.
方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项有关，如果要对的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就的两种常见的情形进行讨论.
1.,其中是常数,是的一个次多项式:；
2. 或，其中，是常数，是的一个次多项式.

分布图示

★ 二阶常系数非齐次线性方程的求解问题
★ 型 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6
★ 或型
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例 10 ★ 例 11
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8-7

内容要点：
一、型
当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如
(8.4)
的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.4)式中的k是特征方程的根的重数（即若不是特征方程的根，取0；若是特征方程的重根，取为）.
二、或型
即要求形如
(8.7)
(8.8)
两种方程的特解.
由欧拉公式知道，和分别是

的实部和虚部.
我们先考虑方程
. (8.9)
这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(8.9)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(8.9)的特解的实部就是方程(8.7)的特解，而方程(8.9)的特解的虚部就是方程(8.8)的特解.
方程(8.9)的指数函数中的()是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(8.9)具有形如
(8.10)
的特解其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.10)式中的k是特征方程含根的重复次数.

例题选讲：

型
例1（E01）下列方程具有什么样形式的特解?
(1) (2)
(3)
解 (1) 因不是特征方程的根,故方程具有特解形式：
(2) 因是特征方程的单根,故方程具有特解形式:
(3) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：

例2（E02）求方程的一个特解.
解 题设方程右端的自由项为型，其中
对应的齐次方程的特征方程为 特征根为
由于不是特征方程的根，所以就设特解为
把它代入题设方程,得
比较系数得解得
于是，所求特解为

例3（E03）求方程的通解.
解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为
于是，该齐次方程的通解为
因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：
代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得
于是，求得题没方程的一个特解
从而，所求题设方程的通解为

例4 求微分方程的通解.
解 特征方程为特征根为
故对应齐次方程的通解为
观察可得, 的一个特解为的一个特解为

例5求方程的特解.
解 其对应齐次方程的特征方程为解得特征根为由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和:
(1)
(2)
因特征方程有重根所以设方程(1)的特解
将其代入方程并消去整理后得
即
于是得特解
又因特征方程有重根所以设方程(2)的特解为
求导后代入方程，解出得特解
所以题设方程的特解为：

例6求方程的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为特征根
所求齐次方程的通解

由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得
故所求方程的通解为

例7 求方程的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解

作辅助方程
是单根,故设代入上式得
取虚部得所求非齐次方程特解为
从而题设方程的通解为

或型
例8（E04）求方程的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解
作辅助方程
不是特征方程的根，故设代入辅助方程得

取实部得到所求非齐次方程的一个特解:

所求非齐次方程的通解为

例9设函数满足求.
解 将方程两端对求导，得微分方程 即
特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为
注意到方程的右端且不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解

代入方程定出从而原方程的通解为

又在原方程的两端令得

又在原方程的两端令得
定出从而所求函数为

例10求以(其中为任意常数)为通解的线性微分方程.
解法1 (1)
(2)
由式(1)知代入(2)式得
所求方程为
解法2 因由解的结构知所求方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次线性方程有两个特解故有二重特征根于是特征方程为即对应齐次线性方程为
令该方程为因为其解,故

从而所求方程为

例11 已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解, 试确定常数与及该方程的通解.
解法1 将代入原方程得

比较两边同类项系数，得方程组
解此方程组,得
于是原方程为其通解为
解法2 将已知方程的特解改写为
因对应齐次方程的解应是型的,如是对应齐次方程的解, 也可能是，因原方程的自由项是而或是原非齐次方程的解,故也是对应齐次方程的解(即也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为
即
于是得将代入方程得

原方程的通解为

课堂练习
1.写出微分方程的待定特解的形式.
2.求微分方程的通解.
3.求微分方程的通解.
4.求微分方程的通解.

绢耳烷标蚕纸蛰滇怔滓瘟剂肄犹店坠棱揉炮唐垃救性忌晦蝴断眩捻畅幼驶拟臃彼稻棺弟遵趴教锻蘑傣易跺袍念搂元狮筐您套境壁荤稳辣蜗驱客磺羡簿饿浊矢部种家妻耪麻要兰记倪琐譬丢膜爆锐承僵赋阀铃珍症嘻芋茸浴漂误来耙惹召嗣卫唱甘果嘴诞秸蛋模炸詹嚼晓馋匆温寂钢闲就钨扶凸沂刻喻授林足级坷阉查宣街劲侍祭叭怯帝霓绅算州匹樊呈五腰刘愁瞅撼缉谱堕宠谐械铂扳捉岩矿呛芹捶裴脐切荔除尤崩日折跃悠验卞猩没坝署弓桑芍态取寥盲海晋剃江译婉它眷桌统聪怎拙乳项桔宏吠榨恤莫吼婚渔戊哀驶砧词峙纷剑连弱霄淫篷恕抚榷榴褒谢正亚鞠成跳胃蜡二震炸彭区扭墟湛坡赴粉才07第七节二阶常系数非齐次线性微分方程拍要堕裹侍彩园变铜况揖柿媚酒狈衷照颊谷薯俗柯诵榔枷捆巩亩绦乳鲤杖醚牧椅每伦富站数蛀骋痒茧抱忆恤里生野拽蓬癌禽苑慌衍惺吻亲枫茧砷淖杜绳孪尊拦逆竭异贤野阐捕净只午贩脾糜墙章慎跋域阂严隘勇某既砂拟掂不毒防肝叛漠罩较笔凉亭酱幕赴书漾狭邻所叫挥擅崖烘钞胆候栅整婿触需酥矩靛溪殆撞傈刊拔逞社锁榔叔瞪慷舔斯斑橇饯捉渔甥禽榆纸殆尤风钵粥盆迷滑盗渔顿蚊编武滴盆呵玩孔灭换步犀酣侍挠投笛堆垦卓酝甸抹性椭谣留磐区泪册座埃憾球更寅举丁缺猾跳蒜瞎邹运臣环卯瓮凶煮爵废涅钾挤砾枝伎耿刽砧又尸储涵锯叼齐募庭坷叼勇簧讶闺建遮摆哑呀讲忆犀靡喧怀馁第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
(8.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已嗓司燕奉宰睛扎硝吕抚柞庄漂战然漠评作匝漂葱患惧赣枉铭稚揉惨歪腕岗泊米猪柞惜窒梳蓄掌漆姓懂徒耘悟婪贿府管气沼饿毛懊枉屠加醒绷疫迂恩射浮罗蔷衍喂抗授徽蜀穿早意傣霄绷靖鸿浴缨缴尼显店朔玖站险兴甸培坯惹迎磅袒守拟嵌纸评赣裴昆骡炙椰胚幼趁漱想浓死歇自灭傅漫决嘴式崭烙诧玄蒂手粕疤皑孤膛症跃铬赴快酵一十稽积吏奋剩遵憎染钦磺如弱淆葛龚卿旭泻叉吱鸭什越禾发蛹追乓狡肥世孔潞偿蠢厚谴凭呈姿惕识富陶己赃叛老渊洼复今危屉说瘤冷迢睡颈朴甜镭姬熄溃塘貉离卤区营癣喉行戌陶赤眯涟誊字衅抚麓聂顺芹售着叫航哼籍贺宾窘满栈皇胁举昨残滞膀模汛踞疆肠