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(详细版)2018高中数学学业水平考试知识点

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2018年高中数学学业水平测试知识点
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∪B
交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B
补集：就是作差。
1、集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子有–2个.

2、求的反函数：解出，互换，写出的定义域；函数图象关于y=x对称。

3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数；③指数的真数属于R、对数的真数.

4、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x10，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
(5);

(5);

7、对数函数的含义及其运算性质：
（1）函数叫对数函数。
（2）对数函数当 为减函数，当 为增函数；
①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：；③底真相同的对数等于1：，
（3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
①； ②； ③。
（4）换底公式：

(5)对数函数的图象和性质

图
象

性
质
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
(5)；

(5)；

8、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑的图象）。
9、方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得这个c就是方程的根。
【必修二】
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长；正方体的对角线长
2、球的体积公式： ； 球的表面积公式：
3、柱体、锥体、台体的体积公式：
=h (为底面积，为柱体高)； = (为底面积，为柱体高)
=(’++) (’, 分别为上、下底面积，为台体高)
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
（1）四公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
（2）空间线线，线面，面面的位置关系：
空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
空间直线和平面的位置关系：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，。
空间平面和平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。
符号表示：。图形表示：
6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
符号表示：。图形表示：
7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。
符号表示：。 图形表示：
8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。
符号表示：
9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
符号表示：
10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
符号表示：。
12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：
13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）
14、异面直线所成角的取值范围是；
直线与平面所成角的取值范围是；
二面角的取值范围是；
两个向量所成角的取值范围是
二、直线和圆的方程
1、斜率：，；直线上两点，则斜率为
2、直线的五种方程 ：
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式( (、； ()、()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行、重合和垂直：
(1)若，
①‖≠
②；
③.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②
4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│=
5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（，）
6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=
8、圆的方程：标准方程，圆心，半径为；
一般方程，（配方：）
时，表示一个以为圆心，半径为的圆；
9、点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有三种：
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
10、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有三种:
;;
.其中.
11、弦长公式：
若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次曲线方程
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：
= = =

==
13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：
⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0
xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0
yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0
⑵│P1P2│=
【必修三】
算法初步与统计：
以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
图形符号
名称
功能

终端框（起止框）
表示一个算法的起始和结束

输入、输出框
表示一个算法输入输出的信息

处理框（执行框）
赋值、计算（语句、结果的传送）

判断框
判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”

流程线
连接程序框（流程进行的方向）

连接点
连接程序框图的两部分

注释框
帮助注解流程图

循环框
程序做重复运算
一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构
二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。
三．三种常用抽样方法：
1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。
四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。
2、频率分布直方图： （注意：不是小矩形的高度）
计算公式：
各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1
3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。
（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。
（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。
（3）计算公式：

标准差：

方差：
直线回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为=x+（此直线必过点（，））。
6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.
随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
1、事件间的关系：
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；
（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。
2、概率的加法公式：
（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．

3、古典概型：
（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：
4、几何概型：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
（3）几何概型的概率公式：
【必修四】
一、 三角函数
1、弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧长公式： （为所对的弧长，为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。
2、三角函数：
（1）、定义：
3、特殊角的三角函数值：
的角度

的弧度

—

—

4、同角三角函数基本关系式：
5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。
1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三：

4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六：

6、两角和与差的正弦、余弦、正切：
： ：
： ：
： ：
tan+tan= tan(+)() tan-tan= tan(-)()
7、辅助角公式：

8、二倍角公式：（1）、： ： ：
（2）、降次公式：（多用于研究性质）

9、在四个三角函数中只有是偶函数，其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）
10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；
如：再求解。
11、三角函数的图象与性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象

定义域

值域

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性

单调性
在增
在减
在增
在减
在 增
最值
当时，
当时,
当时，
当时，
无
对称性
对称中心，
对称轴：
对称中心，
对称轴：
对称中心，
对称轴：无
12．函数的图象：
（1）用“图象变换法”作图
由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩

，
法二：先伸缩后平移

当函数（A>0，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。
二、平面向量
1、平面向量的概念：
在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律：(λ+μ) =λ+μ;(3)第二分配律：λ()=λ +λ.
3、向量的数量积的运算律：(1) · =· （交换律）;
(2)（）· = （·）=· =·（）;(3)（）·= · +·.
4、平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 =λ1 +λ2．
不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5、坐标运算：（1）设，则
数与向量的积：λ，数量积：
（2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2则.（终点减起点）
6、平面两点间的距离公式：（1） =
（2）向量的模||：；
（3）、平面向量的数量积： ， 注意：，，
（4）、向量的夹角，则，
7、重要结论：（1）、两个向量平行： ，
（2）、两个非零向量垂直
（3）、P分有向线段的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，

则定比分点坐标公式 中点坐标公式

三、空间向量
1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）
在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．
3、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：；结合律：．
4如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
7、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；
8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．
9、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．
10、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．
11、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
12、若，为非零向量，为单位向量，则有；；，，；．
13、量数乘积的运算律：；；．
14、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则，
异面垂直时．
15、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，
．
16、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．
。
【必修五】：
一、解三角形：（1）三角形的面积公式：：
（2）正弦定理：
（3）、余弦定理：
（4）求角：

二. 数列
1、数列的前n项和：； 数列前n项和与通项的关系：

2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；
（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；）

（3）、前n项和： （d≠0）

（4）、等差中项： 是与的等差中项： 或，三个数成等差常设：a-d，a，a+d
3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（）。

（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）

（3）、前n项和：

（4）、等比中项： 是与的等比中项：， 即（或，等比中项有两个）
三：不等式
1、重要不等式：（1） 或 (当且仅当a＝b时取“=”号)．

2、均值不等式：（2） 或
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
一正、二定、三相等
注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；
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