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四点共圆的妙用

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四点共圆的妙用
襄阳市三十三中 刘敏
关键词：四点共圆、相似、图形变换、转化思想
接要：在人教版教材的旧教材中有一个定理，即四点共圆的定理，在新教材中由于圆的内容删了不少，这个定理也没有再出现。但在直角三角形的图形变换中时常可以看到，当我们证明了四点共圆时，很多知识在后面的证明中会简化很多，而我们利用圆中90°的圆周角对的弦是直径及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这两个定理就很容易证明四点共圆。所以我们有很多题目的证明都可以走这样一条路。

在这些年来不断进行的教改中，人教版的数学教材也有了不少变化，特别是圆中的大量定理被删除，降低了初中阶段数学学习的难度，而保留的一些题目都是可以用三角形的相关知识解决的。然而，很多时候，我们可以发现我们仍然可以借用圆的相关知识使证明简化。
下面我们看这样一个模板：
如图： RT△ABC和RT△DBC中，∠BAC=90°，∠BCD=90°。
求证：A、B、C、D四点共圆
证明：取BC中点O，连接AO、DO
∵∠BAC=90°，∠BCD=90°
∴AO=BO=CO=DO
∴A、B、C、D四点在以O为圆心，以OB为半径的圆上。
有了这个结论，有很多的结论可以直接引申得到，我们看下面的一些习题变式：
一．由直角三角形到等腰三角形的转化
如图：RT△ABC和RT△DBC中，∠BAC=90°，∠BCD=90°。点O、M分别为BC、AD的中点。
求证：OM⊥AD
证明①由上面的AO=OD
∵点M为AD的中点
∴OM⊥AD
证明②由上面的四点共圆
∴OM⊥AD
那么这里的一种方法是用等腰三角形的三线合一定理，另一个是运用了圆中的垂径定理，写法过程是一样多的步骤。但在圆中来解决问题就很好地将直角三角形与等腰三角形结合起来，体现了几何图形变换中的一种基本的转换思想，当图形发生变化时这样的结论也会很快得出，不需要重新去构造定理成立的条件。
变式图形如左边的图，条件不变，结论也不变，只是图形发生了变化，原本用哪一种方法都是可以的。但如果在圆中有这样的定理，通过证明四点共圆后这种图形模式就可以直接用圆的相关知识，那么我们就只需要一个步骤就能得到正确结论了，这也反映了数学知识的螺旋上升原理，圆的知识比三角形的知识包含的内容更多，运用范畴也就更广。
二．圆与相似的比较
我们知道相似三角形的性质中有对应角相等一条，这个性质可以用来进行相关的角的计算和证明。而在圆中则有同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半这样的性质，这个性质中同弧所对的圆周角有无数个，也就是说我们在圆中找相应的角的关系能够有很多可以用。
例：如图，一幅三角板ACD、BCE中，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD=∠CBE=90°，直线a∥CD．
试判断ＢＣ与ＢＰ的数量关系并证明．
判断：ＢＣ＝ＢＰ
证明：连接ＣＰ
方法①设ＢＰ与ＡＣ交于点０
∵∠CAD=∠CBE=90°，∠CＯＢ=∠ＡＯＰ
∴△ＢＯＣ∽△ＡＯＰ
∴＝
∵∠COP=∠BOA
∴△AOB∽△POC
∴∠CPB=∠CAB
∵a∥CD
∴∠CAB=∠ACD=45°
∴∠CPB=∠CAB=45°
∵∠CBE=90°
∴∠BCP=45°=∠BPC
∴ＢＣ＝ＢＰ
方法②由上面的模板我们可以知道点A、B、C、P四点共圆，于是我们可以知道∠CPB=∠CAB（利用同弧所对的圆周角相等）
比较一下这两种证明方法，如果没有四点共圆，就是考查了学生对相似的理解，通过相似转换得到所需要的结论但当我们学习了四点共圆后很快就能够得出结论，省了两次相似，这种思考比相似比例的转化要简单许多，这样作比较，就更能突出四点共圆的优势了。
我们看变式题：在这两个图形中，已知条件仍然同上题，只是BE与AD的交点变成了与DA（或AD）的延长线的交点。问在这种情况下，结论是否改变。
结论当然是不变，证明的方法也仍然是上面的两种。但是在这两个变式图形中，找三角形相似就比较困难了，原来的两次全等中的三角形比较好找，这里发生了改变就不太容易发现。但是四点共圆这里还是照旧，即点A、B、C、P四点共圆，然后得到∠CPB=∠CAB，很快就能得出结论。
从这个图形变换中我们可以看出四点共圆的的妙用，也可以再次体会到学习了圆的知识后可以综合前面所学的知识，让我们的知识层次更上一层楼。
三．利用四点共圆求最值，替代函数方法。
例：如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D为AC中点，过D作DE⊥DF，分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为？
这个题目求线段的最值有两种方式，一种是用代数方法，求二次函数的顶点，另一种则是利用几何图形中的特殊点。
利用函数方法计算就很复杂了，如果这里我们看到了这个特殊形状，即∠ABC=∠DEF=90°，所以我们可以得到点E、B、F、D四点共圆O，其中EF为圆O的直径。因为圆心O在线段BD的垂直平分线上，所以当O点恰好为BD的中点的时候，圆O的半径是最小的，于是BD就是圆O的直径。所以EF=DB=5是最小值。
在这里，我们就利用四点共圆的特殊性质在几何图形中找到了所需要的特殊值，这个图形体现了四点共圆的妙用，一种几何图形思想，也反映出数形结合的思想。
四．四点共圆知识的应用体现数学转化的思想。
例：如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F，连接OF，则OF的长为？
解：∵正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD为等腰直角三角形，且AO=BO=CO=DO=3
∵DE=2CE
∴CE=2,DE=4
∴BE=2(在直角三角形BCE中用勾股定理求得)
∵CF⊥BE
∴∠ECF+∠CEF=90°
∵∠EBC+∠CEF=90°
∴∠ECF=∠EBC
∵∠BCE=∠BFC=90°
∴△BCF∽BEC
∴ =
∵BC=6,BE=2
∴BF=
∴=÷6=,=3÷2=
∴=
∵∠DBE=∠DBE
∴△BOF∽△BED
∴==
∵DE=4
∴OF=
此题考查了正方形所有的性质和相似三角形的基本模型，反复借用相似的判定和性质进行转化，体现出线段比例的转化思想，特别是相似三角形对应边的比例中一般运用的较多的是夹特殊角的两边的比，对于第三边的比很少用到，在这里运用的就是这个第三边的比，故在转化过程中比较复杂，不容易想到。
如果我们观察这个图形可以发现点B、C、F、O这四点是共圆的，故∠1=∠2=45°（圆中同弧所对圆周角相等），所以∠1=∠3=45°，加上公共角∠DBE，就能得到△BOF∽△BED，这样的方法就利用几何图形中的变换得到所要的结论，少了许多计算，更能启发学生的开放性思维，也能让学生在研究问题的时候有更多的空间想像力。
圆这一章的知识综合性很强，可以将前面所学过的所有的图形放在圆中研究问题，故四点共圆的基本理念可以将三角形四边形的相关知识进行转化，有效结合几何图形，建立图形变换的基本思想，而由直径所对圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这两个互逆定理的综合运用更是突出了四点共圆在几何图形证明及相关计算中的作用，虽然在初中阶段删除了四点共圆的这个定理，但它的作用还存在，我们在学习的过程中还需要对特殊图形的四点共圆的知识加深理解，让四点共圆的知识帮助我们解决一些较复杂的问题，以达到数学思维的简捷。
2015.5.26

刘敏：襄阳市三十三中
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