高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]演示教学.doc

高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]

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第三章 《导数及其应用》单元测试题

一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
1．函数的导数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．函数的一个单调递增区间是（ ）
(A) (B) (C) (D)
3． 已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数在内有极小值，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

8．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）A． B． C． D．
9．设在内单调递增，，则是的（　　）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A y
（B）
（C）
（D） O 1 2 3 4 x
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数的单调递增区间是＿＿＿＿．
12．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．
13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是
14．已知函数(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是 . (2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

16．设函数在及时取得极值．
（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

17．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求(Ⅰ)求点的坐标； (Ⅱ)求动点的轨迹方程.

18. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.

19．已知
（1）当时，求函数的单调区间。
（2）当时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？

20．已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

第三章《导数及其应用》单元测试题答案
一、选择题
CABAA DDCBB
二、11． 12．32 13． 14. (1)
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
16．解：（1），
因为函数在及取得极值，则有，．
即解得，．
（2）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；当时，；当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，
因此的取值范围为．
17．解: (1)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以, 点A、B的坐标为.
(2) 设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得.
另法：点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2
18．解（1） ………………………2分
∴曲线在处的切线方程为，即；……4分
（2）记
令或1. …………………………………………………………6分
则的变化情况如下表

极大

极小

当有极大值有极小值. ………………………10分
由的简图知，当且仅当即时，
函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分
19．（1）或递减; 递增; （2）1、当
递增;2、当递增;3、当或递增; 当递增;当或递增;（3）因由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
1、当 递增，，解得
2、当由单调性知：，化简得：，解得
不合要求；综上，为所求。
20．（1）解法1：∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵∴．
经检验当时，是函数的极值点，∴．　
解法2：∵，其定义域为，∴．
令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：

—
0
＋

极小值

依题意，，即，
∵，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．∴函数在上是增函数．
∴．
∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，∴.
由≥，得≥，又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．∴.
由≥，得≥，又，∴．
综上所述，的取值范围为．

【文科测试解答】
一、选择题
1．;
2．， 选(A)
3.(B)数形结合
4.A由,依题意，首先要求b>0, 所以
由单调性分析，有极小值，由得.
5．解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A
6．（D）
7．（D）
8．（C）
9．（B）
10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ， T
y B
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于

直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11．
12．32
13．
14. (1)

三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为

从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
16．解：（1），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（2）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
17．解: (1)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以, 点A、B的坐标为.
(2) 设，，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得.
另法：点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2

18．解（1） ………………………2分
∴曲线在处的切线方程为，即；……4分
（2）记
令或1. …………………………………………………………6分
则的变化情况如下表

极大

极小

当有极大值有极小值. ………………………10分
由的简图知，当且仅当
即时，
函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.
所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分

19．（1）或递减; 递增; （2）1、当
递增;2、当递增;3、当或递增; 当递增;当或递增;（3）因由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
1、当 递增，，解得
2、当由单调性知：，化简得：，解得
不合要求；综上，为所求。

20．（1）解法1：∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，
∴．　
解法2：∵，其定义域为，
∴．
令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：

—
0
＋

极小值

依题意，，即，
∵，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．
∴函数在上是增函数．
∴．
∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，
∴.
由≥，得≥，
又，∴不合题意．

②当1≤≤时，
若1≤＜，则，
若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．
∴.
由≥，得≥，
又，∴．
综上所述，的取值范围为．

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